Göm meny

Oktoberproblemen 2004

1. Golvet i kung Knuts rektangulära sal är täckt med kvadratiska plattor. Salens sidlängder är sådana att det precis får plats ett helt antal plattor längs både kort- och långsidan. De plattor som ligger närmast kanterna är gula och de andra är blå. Eftersom det har bildats en hel del sprickor i plattorna under årens lopp har kungen gett Arn i uppdrag att byta ut alla plattorna mot nya av samma storlek och färg. När Arn kommer till marknaden har han glömt bort hur många plattor av varje färg som behövs. Han kommer dock ihåg att det var lika många gula som blå plattor. Han vet också att salens kortsida inte är mindre än hälften så lång som långsidan. Hjälp Arn att bestämma hur många plattor han måste köpa för att kungen ska bli nöjd!

2. Några knappar på Nisses miniräknare har gått sönder. Vissa räkneoperationer kan man dock fortfarande utföra. Det går att addera, subtrahera och invertera. Visa att man med dessa operationer fortfarande kan multiplicera två tal.

Lösningar

1. Antag att det får plats m plattor längs kortsidan och n plattor längs långsidan, där m och n är heltal större än 1. Totala antalet plattor är då mn, varav (m-2)(n-2) är blå. Vi (och Arn) vet att precis hälften av plattorna är blå, så vi får ekvationen (m-2)(n-2) = mn/2. Multiplicerar vi båda leden med 2, multiplicerar ihop parenteserna i vänsterledet samt flyttar över alltihop till vänsterledet får vi mn-4m-4n+8 = 0. Om vi nu gör faktoriseringen mn-4m-4n = (m-4)(n-4)-16 får vi (m-4)(n-4) = 8. Vi ska alltså skriva talet 8 som en produkt av två heltal som båda är större än -3 (eftersom m och n är större än 1). Det finns bara två möjligheter (med den minsta faktorn först): 8 = 1*8 och 8 = 2*4. Detta ger de två lösningarna m = 5, n = 12 och m = 6, n = 8. Men det var också känt att m ≥ n/2, vilket gör att m = 6, n = 8 är den enda lösningen. Salen är alltså 6*8 plattor stor och det går åt 24 plattor av varje färg till golvrenoveringen.

/Pontus

2. Vi bygger upp lösningen i steg. Vi konstaterar först att man kan halvera tal genom formeln x/2 = 1/(1/x+1/x). Vi kan också kvadrera tal genom att x2 = x - 1/(1/x-1/(x-1)). Genom att kombinera dessa operationer kan vi utföra beräkningen xy = (x2+y2-(x-y)2)/2.

/Johan


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03