Göm meny

Novemberproblemen 2004

1. I en viss svensk ordlista är orden sorterade som vanligt i bokstavsordning, bortsett från att ett långt ord kommer före ett kort om de börjar likadant. T.ex. kommer ordet "femtiofyra" före ordet "femtio". Eventuella mellanslag och bindestreck bortser man från vid sorteringen. Vilket positivt heltal kommer först i denna ordlista? (Talen är skrivna på vanligt sätt, exempelvis "ett tusen fyra hundra" (inte "fjorton hundra") och "ett tusen biljoner" (inte "en miljon miljarder" eller "en biljard").)

2. I ett planetsystem med ett udda antal planeter råkar det vid ett tillfälle finnas exakt en astronom på varje planet. Om varje astronom studerar sin närmaste grannplanet, är det då möjligt att varje planet studeras av någon av astronomerna? Antag att alla distanser mellan planeterna är olika.

Lösningar

1. De enda positiva heltal som börjar med bokstaven "a" är de som börjar med "arton". Om sorteringen hade varit normal hade just talet 18 kommit först i ordlistan. I den sortering som nu gäller måste vi i stället förlänga talets namn så länge som möjligt för att det ska bli det första. Det enda som kan följa direkt efter "arton" är en tiopotens (i plural), och den som kommer först (i bokstavsordning) är "biljoner". Därefter kan vi fortsätta med "arton" igen. Det sökta talet börjar alltså "arton biljoner arton". Nu är möjligheterna mer begränsade, eftersom vi nu måste ha en tiopotens som är mindre än en biljon. Dessutom kan "arton" inte följas av "tio" eller "hundra", så de enda möjligheterna är (i bokstavsordning) "miljarder", "miljoner" och "tusen". Fortsätter vi att fylla på omväxlande med "arton" och första möjliga tiopotens får vi till slut "arton biljoner arton miljarder arton miljoner arton tusen arton", och därefter är det omöjligt att fortsätta längre. Det första positiva heltalet i denna ordlista är alltså 18018018018018.

/Pontus

2. Antag att varje planet studeras av någon astronom. Börja med att plocka bort alla par av planeter vars astronomer observerar varandra. Om bara en planet återstår är vi klara; den kan inte observeras, så vi får en motsägelse. Välj nu en planet p1. Dess astronom studerar en annan planet, p2, vars astronom studerar planeten p3, osv. Vi får en följd av planeter p1, p2, p3, ... med följande egenskaper:

  • (1) Ingen astronom tittar tillbaka på den förra planeten i följden. Vi har redan plockat bort dessa par.
  • (2) Avstånden måste hela tiden minska, eftersom astronomerna studerar den närmsta planeten, som därmed måste vara närmre än den förra planeten.
  • (3) Samma planet kan inte förekomma två gånger i följden. Det skulle innebära att vi får en cyklisk följd, så någonstans måste avstånden växa.
Men, eftersom antalet planeter är ändligt måste till slut (3) brytas, och vi får en motsägelse. Svar: Nej, det måste finnas någon planet som inte är observerad.

/Erik


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03