Homepage
Marsproblemen 2004
1. För vilka positiva heltal n är n! jämnt delbart med n2 ? (Talet n! ("n-fakultet") är produkten av alla heltal från 1 till n, dvs n!=1*2*3*...*n.)
2. Finns det något positivt heltal som, om det skrivs som vanligt i basen 10, blir exakt dubbelt så stort då man tar bort dess sista siffra och sätter den först? Vilket är i så fall det minsta talet med denna egenskap? Hur blir det om man använder basen 11 istället?
Lösningar
1. Svar: Alla positiva heltal utom 4 och primtalen. Om n är ett primtal, finns bara en faktor n i n!, så n! kan inte vara delbart med n2. Om n=4, så är n!=24 och n2=16, så inte heller då är n! delbart med n2. Om n är ett sammansatt tal, kan n skrivas n=ab, där a och b är mindre positiva heltal. Om a och b är olika, kommer både a och b att förekomma som faktorer i n!, så då blir n! delbart med n2. Enda fallet då det inte är möjligt att dela upp n i två olika faktorer är när n=a2 och a är ett primtal. Fallet n=22 är som sagt ett specialfall. Om a är ett större primtal, förekommer både a och 2a som faktorer i n!, och båda är mindre än n, så även då är n! delbart med n2. Slutligen har vi även det triviala fallet n=1, då n!=1 är delbart med n2=1.
/Johan
2. Antag att x är ett sådant tal som skrivs med d siffror och låt a vara dess entalssiffra. Talet som bildas då man sätter entalssiffran först är 10d-1*a+(x-a)/10. Detta tal ska vara lika med 2x, vilket ger x=a*(10d-1)/19. Eftersom x är ett heltal och 19 är ett primtal måste antingen a eller 10d-1 vara delbart med 19. Men a är ju högst 9 och kan inte heller vara 0 (ty i så fall blir även x=0) så det måste vara 10d-1 som är delbart med 19. Prövar man visar det sig att det minsta värdet på d för vilket detta gäller är d=18. Talet x har alltså åtminstone 18 siffror. Vad är då minsta möjliga värde på a? Fallet a=0 har vi redan uteslutit. Om a=1 är det uppenbart att x inte kan bli dubbelt så stort om entalssiffran sätts först; första siffran i 2x måste ju vara större än första siffran i x, eftersom x och 2x måste ha lika många siffror. (Om man tillåter inledande nollor ger faktiskt a=1 lösningen x=(1018-1)/19=052631578947368421.) För a=2 får vi x=2*(1018-1)/19=105263157894736842 och mycket riktigt fås talet 2x=210526315789473684 genom att sista siffran i x sätts först. Det minsta positiva heltalet med den önskade egenskapen är alltså 105263157894736842.
Ett annat sätt att lösa problemet är att börja med en given entalssiffra i x och sedan successivt räkna ut vad tiotalssiffran, hundratalssiffran, etc. måste vara. Om vi t.ex. börjar med entalssiffran 2, så blir entalssiffran i 2x 4. Men entalssiffran i 2x måste vara tiotalssiffran i x så slutsiffrorna i x är 42. Men då blir ju 2x ett tal som slutar på 84, så hundratalssiffran i x måste vara tiotalssiffran i 2x, dvs 8. Fortsätter vi så här får vi stegvis att x slutar på 842, 2x slutar på 684, x slutar på 6842, 2x slutar på 3684 (kom ihåg minnessiffran!), etc. På det här sättet arbetar vi oss vidare åt vänster i talet ända tills vi får tillbaka siffran 2 som vi började med (utan minnessiffra). Detta ger till slut samma tal som ovan, 105263157894736842. Börjar vi med någon annan (positiv) entalssiffra än 2 får vi andra lösningar, men alla har 18 siffror och den minsta lösningen fås just för entalssiffran 2. (Entalssiffran 1 ger som ovan en mindre lösning om x skrivs med en inledande nolla.)
I basen 11 går det med ett betydligt mindre tal, nämligen talet 40=3*11+7 som skrivs 37 i basen 11. Dubblar vi detta tal får vi 80=7*11+3 som alltså skrivs 73 i basen 11.
/Pontus
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03