Göm meny

Marsproblemen 2003

1. Emilie har ett dominospel med 28 brickor. Varje bricka är indelad i två halvor, och på varje halva finns ett tal från 0 till 6. Alla kombinationer av två tal (lika eller olika) finns med en gång. Emilie lägger ut en rad med brickor, så att två brickor som ligger intill varandra alltid har samma tal i de ändar som gränsar mot varandra. Hon fortsätter tills det inte går att lägga ytterligare en bricka i någon av ändarna på raden, dvs tills ingen av de kvarvarande brickorna har något av de tal som finns i ändarna på raden. Då utbrister hon: --- Pappa, det är en trea i båda ändarna! Förra gången blev det en sexa i båda ändarna. Blir det alltid samma sak i båda ändarna när man är klar?
Vad ska pappa svara?

2. Låt x, y och z vara reella tal. Lös ekvationssystemet

x + y + z = 1
x2 + y2 + z2 = 1
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = 0

Lösningar

1. Så här svarar pappa: Varje tal 0,...,6 förekommer 8 gånger totalt (en dubbel, och en gång tillsammans med vart och ett av de 6 övriga talen). Om man lägger ut en rad av brickor, och ett av talen finns i den ena änden, men inte den andra, så måste detta tal förekomma ett udda antal gånger totalt i raden, eftersom förekomsterna inne i raden ligger parvis. Eftersom 8 är ett jämnt tal, måste det då finnas någon oanvänd bricka med detta tal. När man kör fast står det alltså alltid samma tal i båda ändarna.

/Johan

2. Om man undersöker ekvationssystemet

x + y + z = 1
x2 + y2 + z2 = 1
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = 0

finner man att det är tredje ekvationen som är knöligast. Eftersom det finns en hel del symmetrier, kan man hoppas att ett variabelbyte kan fungera bra. Vi provar att sätta t = x, s = x-y, r = x-z, eller ekvivalent, x = t, y = t-s, z = t-r.

Vi får då

3t - s - r = 1
t2 + (t-s)2 + (t-r)2 = 1
t2 (r-s) - (t-s)2 r + (t-r)2 s = 0

som efter förenkling blir

3t - s - r = 1
3t2 - 2t(s+r) + s2 + r2 = 1
rs(r-s) = 0

För att sista ekvationen ska gälla måste antingen r = 0, s = 0 eller r = s uppfyllas.

  1. r = 0  medför  s = 3t - 1  som medför  3t2 - 2t(3t-1) + (3t-1)2 = 1.  Förenklat blir detta  6t2 - 4t = 0  som har lösningarna t = 0 eller t = 2/3.
     
    Lösning 1:   r = 0, t = 0, s = -1  dvs  x = 0, y = 1, z = 0
    Lösning 2:   r = 0, t = 2/3, s = 1  dvs  x = 2/3, y = -1/3, z = 2/3
     
  2. s = 0  medför  r = 3t - 1  som medför  3t2 - 2t(3t-1) + (3t-1)2 = 1.  Förenklat blir detta  6t2 - 4t = 0  som har lösningarna t = 0 eller t = 2/3.
     
    Lösning 3:   s = 0, t = 0, r = -1  dvs  x = 0, y = 0, z = 1
    Lösning 4:   s = 0, t = 2/3, r = 1  dvs  x = 2/3, y = 2/3, z = -1/3
     
  3. r = s  medför  s = (3t - 1)/2  som medför  3t2 - 2t(3t-1) + 2((3t-1)/2)2 = 1.  Förenklat blir detta  3/2t2 - t - 1/2 = 0  som har lösningarna t = 1 eller t = -1/3.
     
    Lösning 5:   t = 1, s = 1, r = 1  dvs  x = 1, y = 0, z = 0
    Lösning 6:   t = -1/3, s = -1, r = -1  dvs  x = -1/3, y = 2/3, z = 2/3
     

Vi får alltså sex lösningar (x, y, z):

(0, 1, 0),  (2/3, -1/3, 2/3),
(0, 0, 1),  (2/3, 2/3, -1/3),
(1, 0, 0),  (-1/3, 2/3, 2/3)

/Erik


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03