Göm meny

Aprilproblemen 2003

1. Djupt inne i en byrå finns fem par strumpor i fem olika färger. Vi drar tre strumpor på måfå ur byrån. Vad är sannolikheten att vi får två av samma färg?

2. Låt rk vara kvadratroten ur k avrundat till närmaste heltal. Bestäm heltalet N så att

1/r1 + 1/r2 + ... + 1/rN  =  2003

Lösningar

1. (Lösning av Fredrik Svensson, Malmö Borgarskola). Då man får ett par strumpor har man tagit alla strumpor av denna färg. Detta innebär att för att inte få något par måste man ta strumpor med olika färger, vilket är komplementhändelsen (som nu kommer att räknas ut). Sannolikheten för att ta dra första strumpan är 10/10. Nu finns det 9 strumpor kvar varav 8 har en annan färg än den man drog. Sannolikheten för att dra en andra strumpa med annan färg än den första är således 8/9. Nu finns 8 strumpor kvar, varav 6 har en färg som man inte redan har. Sannolikheten för att dra en tredje strumpa med en annan färg är 6/8. Detta ger en sannolikhet på (10*8*6) / (10*9*8) = 2/3 att dra olika strumpor. Sannolikheten för att dra ett par är således 1 - 2/3 = 1/3.

Svar: Sannolikheten är 1/3.

2. Låt oss börja med att se vilka värden rk antar för olika k:

rk k Antal
1 1, 2 2
2 3, 4, 5, 6 4
3 7, ..., 12 6
4 13, ..., 20 8

Allmänt gäller att rk = m precis då

m - 1/2  <  sqrt(k)  <  m + 1/2

eller ekvivalent

m2 - m + 1/4  <  k  <  m2 + m + 1/4 .

Här betyder sqrt(k) kvadratroten ur k. Alltså är rk = m för

k  =  (m2-m+1), ..., (m2+m).

Antalet tal i denna grupp är (m2+m) - (m2-m+1) + 1 = 2m. Summan av 1/rk för en sådan grupp är 2m*(1/m) = 2. För att få totalsumman 2003 ska vi därför summera 1001 hela grupper och en halv, där den halva gruppen är den med rk = 1002. Eftersom den gruppen har 2*1002 tal och slutar på k = 10022+1002, så ska vi alltså välja

N  =  (10022+1002) - 1002 = 10022 = 1004004.

/Jonas


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03