Göm meny

Julproblemen 2002

1. Skriv talen 3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6 längs kanterna på en kub. Skriv sedan vid varje hörn summan av de tre tal som angränsar till hörnet. Kan du göra detta så att de åtta hörnsummorna blir lika?

2. Micke och Hebbe är ute och orienterar. Sent på kvällen kommer de till en landsväg söder om Linköping och beslutar att ta bussen hem till stan. Micke tror att närmaste hållplats ligger i riktning mot stan och går därför norrut med hastigheten 5 km/h. Hebbe tror motsatsen och går söderut med hastigheten 6 km/h. Båda kommer fram till sina hållplatser precis i tid för att hoppa på buss 540 från Kisa. Vem trodde rätt, om bussens hastighet var 70 km/h?


Lösningar

1. (Lösning av Josef Murray, Fyrisskolan i Uppsala) Varje sida angränsar till 2 hörn. Varje tal som placeras ut kommer alltså adderas till två hörnsummor. Summan av samtliga hörnsummor kommer därför bli dubbla summan av talen som placeras ut: 2 * 3(3+4+5+6) = 108.

Det finns åtta hörn på kuben, och alla dessa ska ha samma summa. Detta medför att summan för vardera hörn blir 108/8 = 13,5. Detta är omöjligt att uppnå med endast heltal. Det går alltså inte att få hörnsummorna lika.


2. Låt M och H vara de sträckor (i km) som Micke respektive Hebbe går. Tiden för Mickes promenad är M/5 (timmar), tiden för Hebbes promenad är H/6 och tiden för Hebbes bussresa mellan de två hållplatserna är (H+M)/70. Det ger oss sambandet

M/5  =  H/6 + (H+M)/70

eller ekvivalent

(1/5 - 1/70)*M  =  (1/6 + 1/70)*H.

Efter förenkling följer  M = (38/39)*H < H, dvs Micke gick den kortaste sträckan.

/Jonas


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03