Göm meny

Sommar 2011

1. En simbassäng fylls normalt på 4 timmar med tre slangar samtidigt. När man senast skulle fylla den, så gick slang 1 sönder efter 2 timmar och man fortsatte med bara slang 2 och 3. Efter ytterligare 2 timmar gick även slang 2 sönder. Då var det exakt en sjättedel av bassängen kvar att fylla. Denna sjättedel fylldes med endast slang 3 på 4 timmar. Hur lång tid skulle det ha tagit att fylla hela bassängen med endast slang 1?

2. Sanna och Tobbe löptränar i skogen. De har var sitt favoritspår. Sanna springer i 2,5km spåret och Tobbe i 1km spåret. Spåren har gemensam startpunkt men skiljer sig sedan åt och har endast de sista 500m gemensamma innan de kommer tillbaka till startpunkten. Sanna springer dubbelt så snabbt som Tobbe. Om båda startar samtidigt, hur många varv måste Tobbe springa innan han träffar Sanna igen? Om han istället springer 1km spåret åt andra hållet, hur många gånger skulle han träffa Sanna på lika många varv?

3. Medan de springer, "parkerar" Sanna sin kanin vid en gräsplätt i form av en triangel med en sida 6m och närliggande vinklar 45o och 75o. Kaninen är fäst med ett 3m långt snöre i mitten av den 6m långa sidan. Den kan alltså springa i en cirkel och äta gräset på motsvarande delen av gräsplätten. Hur stor är den ytan där kaninen kan äta gräs?


Lösningar

1. Låt x1, x2 och x3 beteckna hur stor del av bassängen som fylls under en timme med slang 1, slang 2 och slang 3. Vi behöver räkna ut x1, för då tar det 1/x1 timmar att fylla hela bassängen med endast slang 1.
Normalt behövs 4 timmar för alla tre slangar samtidigt, alltså 4(x1 + x2 + x3) = 1. Senast fyllde man med alla tre slangar i två timmar. Då var det alltså hälften av bassängen kvar. Den fyllde man i 2 timmar med slang 2 och i 2+4 timmar med slang 3, alltså 2x2 + 6 x3 = 1/2. Med endast slang 3 fyllde man sista sjättedelen efter fyra timmar, alltså 4x3 = 1/6, vilket ger x3 = 1/24. Insättning i den andra ekvationen ger x2 = 1/8 och slutligen, från första ekvationen fås x1 = 1/12.
Det skulle alltså ta 12 timmar att fylla hela bassängen med endast slang 1.

2. Uppgiften löses enklast grafiskt, se bifogad bild. I den är 2,5km-spåret markerad med en lodrät sträcka och tiden är vågrät. De röda sträckor visar hur Sanna springer i 2,5km-spåret, varv efter varv. Tobbes 1km-spår är markerad med svart streckad linje och det gröna bältet är de gemensamma 500m. Det är där möten skall ske.
När Tobbe springer i samma riktning som Sanna, så springer han enligt de heldragna blåa sträckor. Möten mellan Tobbe och Sanna fås som skärningspunkter mellan blåa och röda sträckor. De skall dessutom ligga i det gröna bältet för att vara riktiga möten. Den svarta skärningspunkten mitt i bilden är alltså inget möte. Det första mötet inträffar i den gröna skärningspunkten, när Tobbe har sprungit 3,5 varv.
Om Tobbe isället sprang åt andra hållet, så motsvaras det av de streckade blåa sträckor. Skärningspunkterna med Sannas röda sträckor är markerade i blått (bara de som ligger i det gemensamma gröna bältet). På 3,5 varv skulle Tobbe då hinna möta Sanna 3 gånger.

3. Rita en bild! Låt A och B vara ändpunkterna av den 6m långa triangelsidan. Det tredje hörnet i triangeln kallas C. Vinkeln vid A är 45o och vid B 75o. Mittpunkten av sidan AB är M. Cirkeln med medelpunkten M och radie 3m (kaninens koppel) skär sidan AC i punkten D och sidan BC i punkten E. Vi har då två likbenta trianglar: AMD och BMD, i vilka kaninen kan äta. Dessutom kan den äta i cirkelsektorn DME.
Eftersom trianglarna AMD och BMD är likbenta, så har de vinklar 45o, 45o, 90o och 75o, 75o, 30o. Det betyder att cirkelsektorn DME har vinkel
180o - 90o - 30o = 60o. Dess area är alltså en sjättedel av hela cirkeln, dvs. $\frac16\cdot3^2\pi = 3\pi/2$.
Vi räknar ut trianglarnas areor.Triangeln AMD är rätvinklig och dess area är då $\frac12\cdot3^2 = 9/2$. Triangeln BMD har två sidor 3m långa och mellanliggande vinkel 30o. Dess area är då $\frac12\cdot3^2\sin 30^\circ = 9/4$. Kaninen kan alltså äta gräs på ytan som är $3\pi/2+9/2+9/4 = 3\pi/2+27/4$, ungefär 11,5m2.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27