LiU / MAI / Undervisning

____________________
Matematiska institutionen
Gunnar Fogelberg
 
 
 
SOMMARPROBLEMEN - 2000

Problem:
1.  Du har nio kulor varav en väger något mindre än de andra åtta kularna som alla väger lika mycket.
     Du har även tillgång till två balansvågar där den ena är finjusterad och känner av viktskillnaden
     mellan en normal kula och den lätta kulan. Den andra vågen däremot är trög och ger inte utslag för
     så  små viktskillnader. Du vet inte vilken våg som är finjusterad.
     Kan du på tre vägningar hitta den defekta kulan?

2.  Fyra flickor - Anna, Berit, Cecilia och Desiré har alla en tiokrona var som de skall köpa
     glass för. Vid glasståndet står också fyra pojkar - Anders, Bertil, Carl och David som alla
     har var sin 20-kronorssedel som de skall köpa en glass var för. Glassen kostar tio kronor.
     Mannen i glasståndet har inga växelpengar. De åtta barnen ställer upp sig i kö framför
     glasståndet. I hur stor del av samtliga möjligheter att ordna kön kommer mannen i ståndet
     att kunna sälja sina glassar utan att det blir bekymmer med växeln?
 
 
Lösning:
1. Lägg 1 kula åt sidan och väg 4 mot 4 på en av vågarna. Om det väger lika lägg  undan 2 av de 8 och väg 3 mot 3 på den andra vågen, om lika väg de 2 undanlagda mot varandra på samma våg. Om lika så är det den först undanlagda kulan som väger för lite. Om det i föregående läge var så att det vägde olika vid 3 mot 3, så är det en av de 3 kulorna som väger upp. Lägg 1 av dessa åt sidan och väg de övriga mot varandra på samma våg. Vid lika är det den man lade åt sidan, vid olika är det den som väger upp. Om det i fallet 3 mot 3 väger lika väger man de 2 undanlagda mot varandra om de väger olika är det den som väger upp. Notera att i fallet då allting hela tiden väger lika är det den först undanlagda kulan som väger för lite men vi vet inte vilken av vågarna det är som inte är finjusterad.
Om i första fallet det väger olika i läget 4 mot 4 är det en av de 4 kulorna som väger upp. Tag 2 av dessa och väg mot varandra, vid lika väg de 2 andra motvarandra..

2. Kalla flickorna 1 och pojkarna  0. Glasskön består således av fyra1:or och fyra 0:or. Det måste stå en 1:a först eftersom det saknas växel.  Det måste också alltid vara en 0:a sist ty annars tar växelpengarna  slut. Nedan ges  en systematisk  framställning av de möjliga raderna, så när som på den inbördes ordningen mellan flickorna respektive pojkarna.

1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0

I varje rad kan flickorna respektive pojkarna permuteras på 4*3*2*1*=24 sätt ,vilket ger att varje rad kan se ut på 24*24 sätt. Det finns 14 rader och vi får således 14*24*24 fungerande glassköer.
Det totala antalet möjligheter att bilda en glasskö med 8 personer är 8*7*6*5*4*3*2*1=70*24*24 .

Den sökta andelen blir då 14/70 = 1/5  eller 20%.