NOVEMBERPROBLEMET - 2000

Problem:
Rita tio räta linjer på ett papper så att varje linje skär alla de andra linjerna men inte går genom någon
skärningspunkt mellan de andra linjerna. Rita sedan en cirkel runt alltihop så att inga skärningspunkter ligger på cirkeln eller utanför. På detta sätt uppkommer i cirkeln ett antal inneslutna områden  som begränsas antingen enbart av linjer eller av linjer och delar av cirkeln. Hur många sådana områden blir det?

Lösning:
Det går  lika bra att börja med att rita cirkeln och sedan dra de tio linjerna så att varje linje korsar de nio andra innanför cirkeln.
Varje gång man drar en linje från en områdesgräns genom området till en annan områdesgräns, får man ett nytt område eftersom området som innesluts  då delas i två. Det betyder att om en linje dras från cirkelns periferi och korsar n andra linjer (områdesgränser) bildas det (n+1) nya områden om linjen dras vidare till periferin.
Den första linjen korsar ingen annan och bildar därför ett nytt område, den andra linjen korsar en linje och bildar därför 2 nya områden, ----,  den tionde linjen korsar nio andra linjer och bildar därför tio nya områden. Innan någon linje är dragen finns det ett område, därför blir antalet områden:
 
  1  plus  summan av talen 1 till 10. Dvs.  1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 1+10(1+10)/2 = 56

Resultatet kan generaliseras till  N  linjer.  Antalet områden blir då: 1+N(N+1)/2.

Svar: Det blir 56 st områden.