Homepage
September 2014
(a) I kvadraten ABCD ligger punkten A' på sidan AB, så att AA' är en tredjedel av AB. På samma sätt är BB' en tredjedel av sidan BC, CC' är en tredjedel av sidan CD, och DD' är en tredjedel av sidan DA. Sträckorna AB', BC', CD' och DA' begränsar en mindre kvadrat innuti ABCD. Hur stor del av den stora kvadrater upptas av den lilla kvadraten?
(b) Gör likadant med en godtycklig triangel. Då fås en mindre triangel innuti. Hur stor del av den stora triangeln upptar den?
Lösning
(a) Vi visar två lösningar, en mer systematisk och en grafisk:
1. Låt K vara skärningspunkten mellan DA' och AB', L mellan AB' och BC', M mellan BC' och CD', och N mellan CD' och DA'. Se bilden. Kvadraten KLMN:s area fås då om man subtraherar trianglarna ABL, BCM, CDN och DAK från kvadraten ABCD. För att beräkna deras areor, observera först att den rätvinkliga triangeln ABB' har en sida AB och att sidan BB' är en tredjedel av sidan BC. ABB':s area blir då $\frac12\cdot1\cdot\frac13$=$\frac16$ av ABCD:s area. Låt x vara arean av triangeln AA'K. Eftersom AA'K är likformig med ABL, och dess sidor är en tredjedel av ABL:s sidor, så är dess area $\frac19$ av ABL:s area. Så ABL:s area är 9x. Triangeln BB'L har samma area som AA'K, d.v.s. x, och tillsammans med triangeln ABL bildar den triangeln ABB', vars area är då 9x+x=10x. Men vi har redan konstaterat att ABB':s area är $\frac16$ av kvadraten ABCD:s area. Så x är $\frac{1}{60}$ av ABCD:s area och därmed är ABL:s area lika med 9x=$\frac{9}{60}$=$\frac{3}{20}$ av ABCD:s area. Trianglarna BCM, CDN och DAK har samma areor som ABL, alltså $\frac{3}{20}$ av ABCD:s area. Alla dessa fyra trianglar tillsammans har då arean som är $4\cdot\frac{3}{20}$=$\frac35$ av ABCD:s area. Om vi subtraherar detta från ABCD får vi att KLMN:s area är $\frac25$ av ABCD:s area.
2. Bilden till den andra lösningen ses här. Punkterna A", B", C" och D" är mittpunkter på sträckorna A'B, B'C, C'D och D'A. Sträckorna A"C" och B"D" delar KLMN i fyra små kvadrater. Genom att rotera de röda och blåa trianglarna ser vi att ABCD:s area är samma som 10 små kvadrater. Varje liten kvadrat har då arean som är $\frac{1}{10}$ av ABCD:s area. Eftersom KLMN består av fyra sådana kvadrater, så är dess area $\frac{4}{10}$=$\frac25$ av ABCD:s area.
(b) Här kan vi bara göra den första lösningen. Låt K vara
skärningspunkten mellan DA' och AB', L mellan AB' och BC', och
M mellan BC' och CA'. Se bilden.
Som i (a) skall vi subtrahera trianglarna ABL, BCM och CAK från
triangeln ABC. Vi behöver alltså bestämma triangel ABL:s area. Vi skall jämföra
den med triangeln ABB', vars area vi kan bestämma:
ABB':s sida BB' är en tredjedel av sidan BC i ABC, men höjden från A mot
dessa sidor är densamma i båda trianglarna. Så ABB':s area är en
tredjedel av ABC:s area.
På samma sätt är höjden mot sidorna AL och AB' i trianglarna ABL och
ABB' densamma, så för att kunna jämföra deras areor, så behöver vi veta
hur lång sträckan AL är i jämförelse med AB'. Vi drar en linje genom B
parallellt med AC. Den skär linjen genom A och B' i punkten D. Se
bilden! Nu kan vi studera likformiga trianglar:
De blåa trianglarna AB'C och DB'B är likformiga aftersom de har två
vinklar lika (alla markerade med blått): Vinklarna vid A och D är lika
eftersom linjerna AC och BD är parallella och bildar
alternatvinklar, medan vinklarna vid B' är eftersom de är vertikalvinklar.
På samma sätt inses att de röda trianglarna ALC' och DLB är likformiga.
Sidan B'C i triangeln AB'C är två gånger så lång som sidan B'B i
DB'B. Likformighet ger då att samma förhållande gäller mellan AC och
BD och mellan AB' och B'D. Alltså är |AC|=2|BD| och
|AB'|=2|B'D|, vilket medför att |AD|=$\frac32$|AB'|.
För trianglarna ALC' och DLB gäller att
|AC'|=$\frac23$|AC|=$\frac43$|BD|.
Likformighet medför då att även |C'L|=$\frac43$|BL|, och eftersom
|AD|=|AL|+|DL|, så gäller att
|AL|=$\frac47$|AD|=$\frac47\cdot\frac32$|AD|= $\frac67$|AD|.
Alltså är ABL:s area lika med $\frac67$ av ABB':s area, som i sin tur
är en tredjedel av ABC:s area. Så ABL:s area är
$\frac67\cdot\frac13$=$\frac27$ av ABC:s area.
På samma sätt kan visas att även trianglarna BCM:s och CAK:s areor
är $\frac27$ av ABC:s area. Alla tre trianglarna ABL, BCM och CAK har då
tillsammans arean som är $3\cdot\frac27$=$\frac67$ av ABC:s area. Vi subtraherar
dem från ABC och får att KLM:s area är $\frac17$ av ABC:s area.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03