Homepage
Oktober 2014
Anna och Adam har var sin kub. Båda kuberna är lika stora, men Annas kub är en ståltrådskonstruktion som består av 12 kanter, medan Adams kub är en plåtlåda som består av 6 kvadratiska sidor. Var och en av kuberna ryms precis i en sfär S. Låt S1 vara den största sfären som får plats i Annas "tråd-kub" och låt S2 vara den största sfären som ryms i Adams "låd-kub". Vi betecknar sfärernas areor A, A1 och A2. Visa att A = A1 + A2.
Lösning
Låt a vara kubernas sidlängd. Den omskrivna sfären S har då diameter
lika med kubernas diagonal d, som enligt Pythagoras sats uppfyller
d2 = a2 + a2 + a2 = 3a2.
Sfärens radie är då r=d/2 och dess area blir
A = 4$\pi$r2 = $\pi$d2 = 3$\pi$a2.
Annas sfär S1 ryms precis i "tråd-kuben" och har diameter
lika med sidans diagonal d1, som enligt Pythagoras
sats uppfyller
d12 = a2 + a2 =
2a2.
Adams sfär S2 ryms precis i "plåt-kuben" och har diameter
lika med sidlängden a.
De två sfärernas areor blir enligt ovan tillsammans lika med
A1 + A2 = $\pi$d12
+ $\pi$d22 = 3$\pi$a2 = A.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03