Göm meny

Februari 2014

Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel med radie 1. Diagonalerna AC och BD är vinkelräta. Fyrhörningens vinklar vid hörnen A, B, C och D är 45o, 120o, 135o och 60o. Bestäm fyrhörningens area.

Lösning          


Mars 2014

Låt $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ vara en godtycklig reellvärd funktion definierad på den reella axeln. Betrakta funktionerna $\displaystyle g(x) = \frac{2f(x)}{f(x)+|f(x)|}$ och $\displaystyle h(x) = \sqrt{\frac{f(x)}{|f(x)|}}$.
Visa att $g$ är definierad och reellvärd för exakt samma $x$ för vilka $h$ är definierad och reellvärd (d.v.s. $g$ och $h$ har samma definitionsmängd), och att $g(x)=h(x)$ för dessa $x$.

Lösning          


April 2014

Betrakta ordet APRIL. Ett trebyte är när tre bokstäver i ordet roteras, t.ex. PIRAL, där A,P och I bytte plats. Kan man genom trebyten få PARIL från APRIL? (Problemet föreslogs av E. Vigren.)

Lösning          


Maj 2014

Jocke har tagit studenten och blir gratulerad av sin moster Maja. Hon passar på att fråga hur många tjejer och killar det finns i Jockes klass. Jocke svarar: "Det säger jag inte, men i snitt har varje student i min klass 3,9 fler tjej-klasskompisar än kill-klasskompisar." Kan Maja (som råkar vara matematiker) från denna information avgöra hur många tjejer och killar det finns i Jockes klass?

Lösning          


Vårterminens vinnare:   Fredrik Helders.


Sommar 2014

1. Som ett sommarjobb säljer Linus mjukglass i en glasskiosk. Glassen trycks ut från glassmaskinen med hastigheten 5cm per sekund. Linus fyller en glasstrut med glass och behöver sedan 18 sekunder för att ta betalt innan han gör nästa glass. En 20-liters påfyllning i glassmaskinen räcker i exakt en timme. Hur stora är glassarna om röret i glassmaskinen, som glassen trycks genom, har en radie på 4/3 cm? (Vi antar att alla glassar är lika stora och att det alltid tar exakt 18 sekunder att ta betalt.)

2. Lotta vill bygga en pool i form av en regelbunden månghörning inskriven i en cirkel med radie 2 meter. Om n-hörningens sidlängd är $a_n$, visa att 2n-hörningens sidlängd blir
$a_{2n} = 2\sqrt{2-\sqrt{4-(a_n/2)^2}}$. Använd detta för att beräkna sidlängden i en regelbunden 8-hörning och en 16-hörning. Vad blir sidlängden i en regelbunden $2^k$-hörning för $k=2,3,\ldots$?

3. En motorcykel skall köra 3/4 varv genom en rondell. Vilken väg blir kortare, innerfilen eller ytterfilen? Om en fil är 3 m bred, hur många meter kortare blir den kortare vägen? Blir svaren annorlunda om den bara kör 1/4 varv?

Lösning          


September 2014

(a) I kvadraten ABCD ligger punkten A' på sidan AB, så att AA' är en tredjedel av AB. På samma sätt är BB' en tredjedel av sidan BC, CC' är en tredjedel av sidan CD, och DD' är en tredjedel av sidan DA. Sträckorna AB', BC', CD' och DA' begränsar en mindre kvadrat innuti ABCD. Hur stor del av den stora kvadrater upptas av den lilla kvadraten?

(b) Gör likadant med en godtycklig triangel. Då fås en mindre triangel innuti. Hur stor del av den stora triangeln upptar den?

Lösning          


Oktober 2014

Det är välkänt att 144=122. Dessutom är 1444=382. Finns det någon mer kvadrat bland talen 14444, 144444, ... ?

Lösning          


November 2014

Anna och Adam har var sin kub. Båda kuberna är lika stora, men Annas kub är en ståltrådskonstruktion som består av 12 kanter, medan Adams kub är en plåtlåda som består av 6 kvadratiska sidor. Var och en av kuberna ryms precis i en sfär S. Låt S1 vara den största sfären som får plats i Annas "tråd-kub" och låt S2 vara den största sfären som ryms i Adams "låd-kub". Vi betecknar sfärernas areor A, A1 och A2. Visa att A = A1 + A2.

Lösning          


Julnötter 2014

1. För vilka heltal A har ekvationen x3 - A2x - 2015 = 0 minst en heltalslösning?

2. Jultomten och renen Rudolf tränar inför Julafton. Tomten börjar åka skidor. Två minuter senare börjar Rudolf springa efter Tomten och springer ifatt honom efter 1km. Båda fortsätter vidare mot vändpunkten vid 5km. Rudolf kommer dit först, vänder och springer mot Tomten. De möts exakt 20 minuter efter att Tomten började åka. Bestäm Jultomtens och Rudolfs hastighet i km/min.

Lösning          



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2016-08-18