Göm meny

Februari 2014

Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel med radie 1. Diagonalerna AC och BD är vinkelräta. Fyrhörningens vinklar vid hörnen A, B, C och D är 45o, 120o, 135o och 60o. Bestäm fyrhörningens area.


Lösning

Vi visar först att fyrhörningens area är ½·|AC|·|BD| och räknar sedan ut diagonalernas längder |AC| och |BD|. Diagonalerna AC och BD delar fyrhörningen i fyra rätvinkliga trianglar. Låt S vara diagonalernas skärningspunkt. Fyrhörningens area är då summan av areor av trianglarna ASB, BSC, CSD och DSA, alltså
Area = ½·(|AS|·|BS| + |BS|·|CS| + |CS|·|DS| + |DS|·|AS|) = ½·(|AS|·(|BS|+|DS|) + |CS|·(|BS|+|DS|))
= ½·(|AS|+|CS|)·(|BS|+|DS|) = ½·|AC|·|BD|.
Nu till diagonalernas längder: Randvinkelsatsen ger att medelpunktsvinkeln för kordan AC är 2·60o = 120o, medan medelpunktsvinkeln för kordan BD är 2·45o = 90o. Eftersom cirkelns radie är 1, så blir
$|AC| = 2/\sin 60^\circ = \sqrt3$ och $|BD| = 2/\sin 45^\circ = \sqrt2$. Fyrhörningens area är alltså $\sqrt6 /2$.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03