Göm meny

Sommar 2013

1. Hitta alla positiva heltal n vars kub n3 slutar med siffrorna 56789.


Lösning

Klicka här!


2. I en regelbunden femhörning bildar diagonalerna en femuddig stjärna och fem trubbvinkliga trianglar. Avgör om stjärnans area är större eller mindre än trianglarnas sammanlagda area.


Lösning

Vi skall jämföra kongruenta ("likadana") trianglar i femhörningen: se bilden!. Enligt den är stjärnans area lika med 5a + c och trianglarnas gemensamma area är 5b. Trianglarna ABC och AFC är kongruenta och har samma area, alltså 2a + c = 2b + a, vilket ger a + c =2b. Stjärnans area är alltså 5a + c = 5a + (2b - a) = 4a + 2b.

Även trianglarna EFG och EGH är kongruenta och alltså är a = d + e. Dessutom är b = a + d = 2d + e (i triangeln AEG). De sökta areorna är då:
stjärna = 4a + 2b = 6a + 2d = 8d + 6e och
alla trianglar tillsammans = 5b = 10d + 5e > 8d + 6e,
eftersom d > e (vilket ses lätt, då trianglarna AGH och HGI, med areorna d och e, har samma höjd men deras baser är |AH| > |HI|).

SVAR: De fem trianglarna tillsammans har större area än stjärnan.


3. En trollmamma har en 3-literskanna full med trolldryck som hon vill fördela rättvist mellan sina tre ungar. Hon har också en tom 4-literskanna och en tom 2-literskanna. Kan hon, genom att hälla dryck mellan kannorna, dela den så att det i varje kanna finns exakt en liter? Hon kan hälla så här:
1. Tömma en hel kanna i en annan kanna (om drycken rymms).
2. Fylla på från en kanna i en annan så att den blir full (och resten av drycken är kvar i första kannan).


Lösning

Först kollar vi alla möjliga dryckfördelningar (oavsett om de går att nå eller inte), vi skriver t.ex. 120 för 1-2-0 liter i 3l-, 4l- och 2l-kannan: 300, 210, 201, 120, 111, 102, 030, 021, 012.

Vi vill se om det går att börja med 300 och komma till 111. Från 300 kan vi göra följande:
Hälla över från 3l-kannan till 2l-kannan: 300 -> 030
Hälla över från 3l-kannan till 4l-kannan: 300 -> 102
Med högst ett steg kan vi alltså nå: 300, 030, 102.

Från 030 kan vi göra följande:
Hälla över från 4l-kannan till 3l-kannan: 030 -> 300
Hälla över från 4l-kannan till 2l-kannan: 030 -> 012

Från 102 kan vi göra följande:
Hälla över från 3l-kannan till 4l-kannan: 102 -> 012
Hälla över från 2l-kannan till 4l-kannan: 102 -> 120
Hälla över från 2l-kannan till 3l-kannan: 102 -> 300
Med högst två steg kan vi alltså nå: 300, 030, 102, 012, 120.

Från 012 kan vi göra följande:
Hälla över från 4l-kannan till 3l-kannan: 012 -> 102
Hälla över från 2l-kannan till 4l-kannan: 012 -> 030
Hälla över från 2l-kannan till 3l-kannan: 012 -> 210

Från 120 kan vi göra följande:
Hälla över från 4l-kannan till 3l-kannan: 120 -> 300
Hälla över från 4l-kannan till 2l-kannan: 120 -> 102
Hälla över från 3l-kannan till 4l-kannan: 120 -> 030
Hälla över från 3l-kannan till 2l-kannan: 120 -> 021
Med högst tre steg kan vi alltså nå: 300, 030, 102, 012, 120, 210, 021.

Från 210 kan vi göra följande:
Hälla över från 4l-kannan till 3l-kannan: 210 -> 300
Hälla över från 4l-kannan till 2l-kannan: 210 -> 201
Hälla över från 3l-kannan till 4l-kannan: 210 -> 030
Hälla över från 3l-kannan till 2l-kannan: 210 -> 012

Från 021 kan vi göra följande:
Hälla över från 4l-kannan till 3l-kannan: 021 -> 201
Hälla över från 4l-kannan till 2l-kannan: 021 -> 012
Hälla över från 2l-kannan till 4l-kannan: 021 -> 030
Hälla över från 2l-kannan till 3l-kannan: 021 -> 120
Med högst fyra steg kan vi alltså nå: 300, 030, 102, 012, 120, 210, 021, 201.

Från 201 kan vi göra följande:
Hälla över från 3l-kannan till 4l-kannan: 201 -> 021
Hälla över från 3l-kannan till 2l-kannan: 201 -> 102
Hälla över från 2l-kannan till 4l-kannan: 201 -> 210
Hälla över från 2l-kannan till 3l-kannan: 201 -> 300

Med högst fem steg kan vi alltså nå alla dryckfördelningar utom 111. Vi har också kollat att 111 kan inte nås från någon av dessa, vilket betyder att 111 kan aldrig nås och trollmamman kan inte dela drycken rättvist.

Här kan du se lösningen illustrerad som en graf. Pilarna viar hur man kan hälla drycken.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03