Homepage
Oktober 2013
Malin bygger en pappersdrake i form av en cirkelsektor. Dess omkrets skall kantas med specialtejp. Malin har 2m tejp. Hur stor radie och medelpunktsvinkel skall hon välja så att cirkelsektorns area blir så stor som möjligt och tejpen räcker runt hela omkretsen?
Lösning
Låt $v$ vara medelpunktsvinkeln (i grader), och $r$ vara radien. Drakens area är då $A=\pi r^2 v/360$ och omkretsen är $2r + 2\pi rv/360 = 2$. Alltså $r+\pi rv/360 = 1$ och därmed $v/360 = (1-r)/\pi r$. Vi sätter in detta i areaformeln och maximerar arean genom kvadratkomplettering:$ A = \pi r^2(1-r)/\pi r = r(1-r) = r-r^2 = -(r-\frac12)^2+\frac14 \le \frac14.$
Den största arean $\frac14$m${}^2$ fås alltså om $r=\frac12$m och $v=360/\pi$, vilket är ungefär $114,6^\circ$ (och kallas också 2 radianer eftersom cirkelbågen motsvarande denna vinkel har samma längd som 2 radier, 1 radian är ungefär $57,3^\circ$).
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03