Göm meny

Februari 2013

Ett rätblock med sidlängder 3, 11 och 61 består av 2013 enhetskuber i frigolit. Vi sticker en (oängligt tunn) nål genom rätblocket, längs kroppsdiagonalen, från ett hörn till det motsatta hörnet. Hur många små enhetskuber träs på nålen?

Lösning

Små kuber bildar en kubisk nät som kan ses som ett 3-dimensionellt koordinatsystem med origo (0,0,0) i ett av de två hörn som nålen går genom. Det andra hörnet får koordinater (3,11,61). Vi ger till varje liten kub en label som är lika med koordinater för den av kubens hörn som ligger längst bort från origo. Vi har alltså kuber (1,1,1), (1,1,2), ... , (1,1,61), (1,2,1), ... , (3,11,61). För att se hur många av dem som träs på nålen, så konstaterar vi först att eftersom 3, 11 och 61 är primtal, så är nålens riktning sådan att den inte går genom någon punkt i nätet med två eller tre heltalskoordinater (annat än origo (0,0,0) och (3,11,61)). Med andra ord, så skär nålen endast de små kubernas sidoytor, inte kanter eller hörn (andra är de två yttersta hörnen som också är rätblockets hörn). Det betyder att varje gång nålen går från en liten kub till en annan, så ökar exakt en av kubernas koordinater, t.ex. från (1,1,1) till (1,1,2). Nålen går från kuben (1,1,1) till (3,11,61), alltså måste den göra 3-1=2 "övergångar" i x-riktning, 11-1=10 i y-riktning, och 61-1=60 i z-riktning. Det blir 2+10+60=72 övergångar från en liten kub till en annan, vilket betyder 73 små kuber på nålen. Inga andra kuber fastnar på nålen.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03