Homepage
Februari 2011
För bråken $\frac12$ och $\frac13$ gäller att $\frac12 \cdot \frac13 = \frac12 - \frac13$, d.v.s. deras produkt är lika med deras skillnad. Visa att om två bråk $\frac{p}{q}$ och $\frac{r}{s}$ har denna egenskap och är förkortade så mycket som möjligt, så är $p=r$ eller $p=-r$.
Lösning
Antag att $\frac{p}{q}$ och $\frac{r}{s}$ är förkortade så mycket som möjligt och att $\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p}{q} - \frac{r}{s}$. Skriv om likheten som $\frac{pr}{qs} = \frac{ps-qr}{qs}$. Alltså måste $pr = ps - qr$, från vilket fås $r = \frac{ps}{p+q}$, d.v.s. $\frac{r}{s}=\frac{p}{p+q}$. Vi antog att $p$ och $q$ inte har någon gemensam delare (då $\frac{p}{r}$ är förkortat så mycket som möjligt). Alltså har $p$ och $p+q$ inte heller någon gemensam delare. Det betyder att både $\frac{r}{s}$ och $\frac{p}{p+q}$ är förkortade så mycket som möjligt och alltså är antingen $p=r$ och $s=p+q$ eller $p=-r$ och $s=-(p+q)$.
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03