Göm meny

Februari 2012

För bråken $\frac12$ och $\frac13$ gäller att $\frac12 \cdot \frac13 = \frac12 - \frac13$, d.v.s. deras produkt är lika med deras skillnad. Visa att om två bråk $\frac{p}{q}$ och $\frac{r}{s}$ har denna egenskap och är förkortade så mycket som möjligt, så är $p=r$.

Lösning          


Mars 2012

Parallelltrapetsen ABCD har två parallella sidor med längder |AB|=16 och |CD|=6. Punkten M ligger inne i trapetsen så att trianglarna ABM, BCM och CDM har areor 8, 7 och 6. Bestäm arean av triangeln ADM.

Lösning          


April 2012

Tåget skulle köra 297km på en viss tid och satte igång med lagom hastighet. Efter halva sträckan fick tåget motorstopp och förlorade 20 minuter på det. För att ändå komma i tid höjde tåget hastigheten med 18km/t på den andra halvsträckan. Hur länge och hur snabbt åkte tåget? (Tåget stannade inte på vägen och höll konstant hastighet på båda halvsträckorna.)

Lösning          


Maj 2012

Beräkna kvoten ${\displaystyle \frac{1+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\ldots} {1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\ldots}}$.
(Du behöver inte visa att de oändliga summorna har ett ändligt värde.)

Lösning          


Vårterminens vinnare:   Lisa Lokteva.


Sommar 2012

1. Hitta alla positiva heltal a, b, c, d sådana att $$a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac1d}} = \frac{2013}{2011}.$$

2. Under fotbolls-EM springer Mia längs en linje vinkelrät mot målet $AB$ som är 10m brett. Målet ligger på ena sidan av denna linje och avståndet mellan linjen och målet är 8m. Hur långt från mållinjen skall Mia skjuta för att ha så stor skjutvinkel mot målet som möjligt? (Med andra ord, maximera vinkeln $\angle AMB$. )

3. Johan äter glass varje dag under sommarlovet. En dag säger han: "Idag åt jag fler glassar än i förrgår men färre än för en vecka sedan." Nästa dag säger han samma sak, och så vidare. Hur länge kan han hålla på så här utan att ljuga? (Vi förutsätter att han inte tröttnar på glass eller mår dåligt.)

Lösning          


September 2012

a) Visa (utan hjälp av dator eller miniräknare) att $\sqrt3^{\sqrt2}>\sqrt2^{\sqrt3}$.

b) Visa att om $x>y$ och $x^y>y^x$, så är $\sqrt{x}^{\sqrt{y}}>\sqrt{y}^{\sqrt{x}}$.

c) Ge ett exempel där $x < y$ och $x^y > y^x$, men $\sqrt{x}^{\sqrt{y}} < \sqrt{y}^{\sqrt{x}}$ (gärna med heltal $x$ och $y$).

Lösning          


Oktober 2012

Hur mycket mjölk rymmer en Tetrapak i form av en tetraeder vars två motsatta kanter (de sammansvetsade) är 8cm långa och de övriga är 9cm långa?

Lösning          


November 2012

Visa att talet N2, där N är ett heltal större än 3, kan inte ha bara udda siffror.

Lösning          


Julnötter 2012

1. Talet 2013 består av siffror 0,1,2 och 3. Hur många ickenegativa heltal (t.ex. 0 och 312) och ickenegativa decimaltal med 1,2 eller 3 decimaler (t.ex. 0,12 och 1,032) kan vi skriva ner med hjälp av siffrorna 0,1,2 och 3, om varje siffra används högst en gång?

2. Skriv talen 1000, 1001, ..., 2013 efter varandra för att få ett enda stort tal:
N = 100010011002...199920002001...2013.
Är talet N delbart med 2013? (Tips: 2013 = 3.11.61, så kolla delbarhet med 3, 11 och 61.)

Lösning          



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27