Göm meny

September 2011

Alla pappersark i A-serien (t.ex. A3, A4 och A5) har samma förhållande mellan sina sidlängder. Dessutom gäller att papperet av mindre storlek fås genom att halvera det större papperet. Alltså består A4 papper av exakt två A5 ark.
(a) Bestäm förhållandet mellan sidländger.
(b) Ett A4 papper viks längs diagonalen. Man får då en triangel som är "dubbelvikt" och två "enkla" trianglar. Hur stor del av papperets yta utgörs av den dubbelvikta triangeln?


Lösning

(a) Låt an och bn beteckna den korta och den långa sidan av ett An papper. Då gäller att $$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}, $$ $a_ {n-1}=b_n$ och $b_{n-1}=2a_n$. Från detta får vi att $$ \frac{a_{n-1}}{b_{n-1}} = \frac{b_n}{2a_n} $$ och om vi jämför detta med den första ekvationen, så måste $$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{b_n}{2a_n}, $$ vilket medför att $2a_n^2=b_n^2$. Alltså $b_n=a_n\sqrt2$ och sidlängder förhåller sig som $b_n : a_n=\sqrt2 : 1$.

(b) Låt ABCD vara ett pappersark (t.ex. A4) med sidlängder $a=|AB|$ och $b=|BC|=a\sqrt2$. Vi viker den längs diagonalen $AC$. Då bildas femhörningen ACDEB', där B' är punkten B efter vikningen och E fås som skärningspunkten mellan sträckorna AD och BC. Rita en bild! Låt också mittpunkten på diagonalen vara F.
Vi behöver nu räkna ut arean av triangeln ACE och jämföra den med arean av den ursprungliga rektangeln ABCD. Triangelns bas är diagonalen AC och dess längd är $d=\sqrt{a^2+b^2}=a\sqrt3$. Höjden $h=|EF|$ får vi med hjälp av likformighet: Trianglarna EFA och ABC är båda rätvinkliga och har samma vinklar $\angle EAF= \angle ACB$. De är alltså likformiga och därför gäller att $$ \frac{h}{d/2} = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt2}. $$ Detta ger $h=\frac{d}{2\sqrt2} = \frac{a\sqrt3}{2\sqrt2}$. Triangelns area är då $$ \frac12 hd = \frac12 \frac{a\sqrt3}{2\sqrt2} a\sqrt3 = \frac{3a^2}{4\sqrt2}. $$ Jämförelse med rektangelns area $a^2\sqrt2$ ger $$ \frac{\frac{3a^2}{4\sqrt2}}{a^2\sqrt2} = \frac38. $$ Triangelns area upptar alltså 3/8 av papperets area.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27