Göm meny

Julnötter 2011

1. För vilka tal p och q har ekvationen x3 + p x2 + q x + 2011 = 0 endast heltalslösningar? Hur många olika par (p,q) blev det?
Hur många olika par skulle det bli om vi bytte ut 2011 mot 2012?

2. Talet N fås genom att skriva ner alla tal från 1 till 2012 efter varandra så här:
N = 1234...910111213...100101102103...201020112012.
Hur många siffror har N? Är det delbart med 12?


Lösning

1. Låt a, b och c vara lösningarna till ekvationen. Den kan då skrivas som
x3 + p x2 + q x + 2011 = (x-a)(x-b)(x-c) = x3 - (a+b+c) x2 + (ab+bc+ac) x - abc.
Om vi jämför koefficienterna, så ser vi att abc = -2011. Eftersom 2011 är ett primtal, så måste ett (t.ex. a) av lösningarna vara ± 2011 och de övriga (t.ex. b och c) vara ± 1, där exakt en eller alla tre lösningarna är negativa.
Vi har tre möjligheter: (2011,1,-1), (-2011,1,1) och (-2011,-1,-1). Eftersom p = -(a+b+c) och q = ab+bc+ac, enligt ovan, så får vi följande tre möjligheter för paren (p,q): (-2011,-1), (2009,-4021) och (2013,4023). Det finns alltså tre olika par (p,q) för vilka har ekvationen endast heltalslösningar.

Om 2011 byts mot 2012, så måste abc = -2012 = -22 · 503, och exakt en eller alla tre lösningarna är negativa. Om vi bortser från tecken och ordning, så har vi fyra möjligheter: (2012,1,1), (1006,2,1), (503,4,1) och (503,2,2).
Vilka tecken kan de ha? I (2012,1,1) har vi bara två olika tal. Vi får en lösning där de ena talet är negativt, en lösning där det andra talet är negativt och en lösning där båda talen (dvs. alla tre rötter) är negativa. Vi får alltså tre olika lösningsmängder. Var och en av dessa ger oss ett par (p,q), totalt tre olika par (p,q).
(503,2,2) behandlas på samma sätt och ger oss också tre olika par (p,q).
I (1006,2,1) har vi tre olika tal. Varje av dessa tal kan vara negativt medan de övriga är positiva, detta ger tre olika lösningsmängder (och därmed olika par (p,q)). Dessutom kan alla tre tal vara negativa, totalt alltså fyra olika par (p,q).
På samma sätt ger (503,4,1) fyra olika par (p,q).
Alltsammans har vi 14 olika par (p,q) för vilka ekvationen x3 + p x2 + q x + 2012 = 0 har endast heltalslösningar.

2. I talet N finns:
9 ensiffriga tal (1...9), totalt 9 siffror,
90 tvåsiffriga tal (10..99), totalt 180 siffror,
900 tresiffriga tal (100..999), totalt 2700 siffror,
1013 fyrsiffriga tal (1000--2012), totalt 4052 siffror.
Talet N har alltså totalt 9 + 180 + 2700 + 4052 = 6951 siffror. Eftersom N slutar med 12, så är det delbart med 4,
då 100n + 12 = 4(25n + 3).
Vi undersöker näst delbarhet med 3: För varje tal k=1,2,...,2012 kan dess bidrag till talet N skrivas som k · 10mk, där mk är en lämplig heltalsexponent. Vi har alltså
N = 1 · 10m1 + 2 · 10m2 + ... + 2012 · 10m2012 = 1 + 2 + ... + 2012 + 1 · (10m1 - 1) + 2 · (10m2 - 1) + ... + 2012 · (10m2012 - 1)
= 1 + 2 + ... + 2012 + 3K,
eftersom varje tal (10mk - 1) kan skrivas som mk nior, vilket är delbart med tre.
Eftersom 1 + 2 + ... + 2012 = ½ · 2012 · 2013 = 1006 · 3 · 671, så ser vi att N = 3 (1006 · 671 + K), d.v.s. N är delbart med 3. Eftersom det också är delbart med 4 (enligt ovan), så är det delbart med 12.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27