Göm meny

April 2011

I det tredimensionella rummet har varje punkt en av fyra färger. Visa att det för varje positivt tal r finns två punkter i rummet med avstånd r från varandra och samma färg.


Lösning

Låt P vara en punkt i rummet och betrakta sfären S med radie r och medelpunkt P. Låt X,Y,Z vara tre punkter på denna sfär sådana att deras inbördes avstånd är r (d.v.s. punkterna P,X,Y,Z bildar en regelbunden tetraeder med sidlängd r). Om två av dessa fyra punkter har samma färg, så är vi klara. Annars har de olika färger.
Låt Q vara P:s spegelbild i planet som går genom punkterna X,Y,Z. Då är QXYZ också en regelbunden tetraeder med sidlängd r. Om Q har smma färg som någon av punkterna X,Y,Z, så är vi klara. Annars har Q samma färg som P.
Vi upprepar detta resonemang med alla möjliga punkter X,Y,Z på sfären S, sådana att PXYZ är en regelbunden tetraeder med sidlängd r. Antingen händer det att vi får två punkter med avstånd r och samma färg eller så bildar alla punkter Q en enfärgad sfär runt P med radie större än r. På denna sfär finns säkert två punkter med avstånd r.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2011-05-04