Göm meny

November 2009

Låt ABC vara en godtycklig triangel och P en punkt inuti i ABC. Genom P drar vi tre linjer, var och en parallell med en triangelsida. Dessa tre linjer delar triangeln ABC i tre mindre trianglar och tre parallellogram. Om de små trianglarna har areor p, q, r, vad är triangel ABC:s area?


Lösning

De tre små trianglarna har alla sidor parallella med motsvarande sidor i den stora triangeln. Det följer att alla de små trianglarna har samma vinklar som den stora triangeln och är därmed likformiga med den. Låt a vara en sida i den stora triangeln och låt x, y och z vara de sidorna i de små trianglarna, som är parallella med a. Då gäller att a = x + y + z.

Låt h vara höjden i den stora triangeln, vinkelrät mot a, och låt k, l och m vara motsvarande höjder i de små trianglarna, vinkelräta mot x, y, och z. Eftersom trianglarna är likformiga, så gäller att k = xh/a, l = yh/a och m = zh/a. Trianglarnas areor är alltså

p = xk/2 = x2h/2a, q = yl/2 = y2h/2a och r = zm/2 = z2h/2a och därmed x = (2ap/h)½, y = (2aq/h)½ och z = (2ar/h)½.

Eftersom x + y + z = a, så får vi a = (2a/h)½ (p½ + q½ + r½) och alltså a½ = (2/h)½ (p½ + q½ + r½), dvs. a = 2 (p½ + q½ + r½)2/h.

Den stora triangelns area är då A = ah/2 = (p½ + q½ + r½)2.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27