Göm meny

Mars 2009

Låt a, b, c, d, e vara fem efter varandra följande positiva heltal sådana att an + bn + cn = dn + en för något positivt heltal n. Visa att a + b + c + d + e är delbart med 30.


Lösning

Observera först att för alla x och y och alla positiva heltal n gäller xn - yn = (x - y) (xn-1 + xn-2 y + ... + x yn-2 + yn-1).

Detta innebär att om x och y är heltal, så är talet xn - yn delbart med x - y.

Eftersom a=c - 2, b=c - 1, d=c+1 och e=c+2, så har vi (c - 2)n + (c - 1)n + cn = (c+1)n + (c+2)n och efter omskrivning

cn = ((c+1)n - (c - 1)n) + ((c+2)n - (c - 2)n). Eftersom (c+1) - (c - 1) = 2 och (c+2) - (c - 2) = 4, så visar argumentet ovan att båda termerna är delbara med 2, dvs. även cn är delbart med 2. Eftersom c är heltal, så måste c vara delbart med 2.

En annan omskrivning ger cn = ((c+1)n - (c - 2)n) + ((c+2)n - (c - 1)n). Eftersom (c+1) - (c - 2) = (c+2) - (c - 1) = 3, så är båda termerna delbara med 3, och därmed är även c delbart med 3. Det följer att c är delbart med 6 och eftersom a + b + c + d + e = 5 c, så är a + b + c + d + e delbart med 5*6=30.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2009-05-04