Göm meny

Julnöt 2009

Vilka av talen 123, 123123, 123123123, 123123123123, 123123123123123, 123123123123123123, ... är delbara med 2009?


Lösning

Observera att 2009 = 72 · 41 och att 123 = 3 · 41. Alla tal 123, 123123, 123123123, ... är alltså delbara med 41,
ty 123123123...123 = 3 · 41 · (103n + 103(n-1) + ... + 103 + 1).

Vi studerar delbarhet med 7 och 49. Om n=2k+1 är udda, så är

103n + 103(n-1) + ... + 103 + 1 = 1001 · 1000001000001...1000001 = 7 · 11 · 13 · (106k + 106(k-1) + ... + 106 + 1).
Alltså är alla dessa tal med udda n delbara med 7.

Å andra sidan, om n är jämnt, så är 103n + 103(n-1) + ... + 103 + 1 = 1000 (103(n-1) + ... + 103 + 1) + 1, där n-1 är udda och därmed är talet i parentesen delbart med 7. Hela talet 103n + 103(n-1) + ... + 103 + 1 har alltså rest 1 vid division med 7 och är därmed inte delbart med 7.

Vilka av talen 103n + 103(n-1) + ... + 103 + 1 med udda n är då delbara med 49?

Eftersom 103n + 103(n-1) + ... + 103 + 1 = 7 · 11 · 13 · (106k + 106(k-1) + ... + 106 + 1),

så räcker det att kolla vilka av talen 106k + 106(k-1) + ... + 106 + 1 är delbara med 7. Vi har 106 = 7 · 142857 + 1, så varje term 106j, j=0,1,...,k, har rest 1 vid division med 7. För att summan skall vara delbart med 7, så behövs alltså 7m termer, dvs. k = 7m-1 och n = 2k+1 = 14m - 1. Med andra ord, så skall siffrorna 123 upprepas 14, 28, 42, 56, ... gånger för att hela talet skall vara delbart med 2009.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2015-01-27