Göm meny

April 2009

Två fyrhörningar är inskrivna i en cirkel. Den enas hörn delar cirkeln i fyra cirkelbågar vars längder är i förhållandet 1 : 5 : 7 : 11 (i godtycklig ordning). Den andra fyrhörningen delar cirkeln i förhållandet 3 : 5 : 7 : 9, också i godtycklig ordning. Vilken av fyrhörningarna har större area? Har den också längre omkrets?

Lösning

Låt cirkelns radie vara r. Om vi från cirkelns mittpunkt drar sträck till fyrhörningarnas hörn, så delas varje fyrhörning i fyr likbenta trianglar med två sidor var av längd r och mellanliggande vinkel som motsvarar var sin cirkelbåge.

Observera att 1 + 5 + 7 + 11 = 24 = 3 + 5 + 7 + 9 och att 360o / 24 = 15o. Mittvinklarna till trianglarna i den första fyrhörningen är alltså 15o, 75o, 105o, 165o, och in den andra fyrhörningen 45o, 75o, 105o, 135o.

För att jämföra fyrhörningarnas areor räcker det att jämföra trianglarnas areor. Observera att trianglarna med mittvinkeln 75o och 105o är samma för båda fyrhörningarna. De bidrar alltså med samma area och även med samma sidlängd till fyrhörningarnas omkrets. Vi kan alltså bortse från dem.

Vi tittar istället på de övriga trianglarna. Triangeln med två sidor var av längd r och mellanliggande vinkel v har area ½ r2 sin v. Den tredje sidan i triangeln har längd 2r sin(v/2).

I den första fyrhörningen bidrar trianglarna med mittvinklarna 15o och 165o med area

A1 = ½ r2 (sin 15o + sin 165o ) = r2 sin 15o,

och två sidor av total längd L1 = 2r (sin 7,5o + sin 82,5o ) = 2r (sin 7,5o + cos 7,5o).

I den andra fyrhörningen fås på samma sätt A2 = ½ r2 (sin 45o + sin 135o ) = r2 sin 45o > r2 sin 15o = A1

och L2 = 2r (sin 22,5o + sin 67,5o ) = 2r (sin 22,5o + cos 22,5o).

Vi ser alltså att den andra fyrhörningen har större area.

För att kunna avgöra vilken omkrets är större, så behöver vi jämföra (sin 7,5o + cos 7,5o) och (sin 22,5o + cos 22,5o). Eftersom båda uttrycken är positiva, så kan vi istället jämföra deras kvadrater

(sin 7,5o + cos 7,5o) 2 = (sin 7,5o)2 + 2 sin 7,5o cos 7,5o + (cos 7,5o)2 = 1 + sin 15o och på samma sätt

(sin 22,5o + cos 22,5o) 2 = 1 + sin 45o > 1 + sin 15o.

Detta visar att L2 > L1, dvs. den andra fyrhörningen har även större omkrets.


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03