Göm meny

Sommar 2007

1. I en triangel är sidlängder a,b,c och motsatta vinklar u,v,w. Visa att

(a sin u)1/2 + (b sin v)1/2 + (c sin w)1/2 = (a + b + c)1/2 (sin u + sin v + sin w)1/2.

(Exponenten 1/2 betyder förstås "roten ur".)

2. Hitta alla primtal p och q sådana att 3p2 + 6p = 2q2 +7q.


3. För varje par reella tal x,y är f(x,y) ett reellt tal sådant att f(x,y)>1. Visa att för varje positivt heltal k finns positiva heltal m,n sådana att m+n>k och

f(m,n) < f(m+1,n)+f(m,n+1).


Lösningar

1. Sinussatsen ger

(sin u)/a = (sin v)/b = (sin w)/c = k > 0,

dvs. sin u = ka, sin v = kb, sin w = kc. Alltså

(a sin u)1/2 + (b sin v)1/2 + (c sin w)1/2 = k1/2 (a + b + c) = k1/2 (a + b + c)1/2 ((sin u)/k + (sin v)/k + (sin w)/k)1/2

= (a + b + c)1/2 (sin u + sin v + sin w)1/2.

/Jana


2. Ekvationen kan skrivas som 3p(p+2) = q(2q+7). Eftersoom q är ett primtal, så måste q dela en av 3,p och (p+2). Om q delar 3, så är q=3 och därmed 3p2 + 6p = 39, vilket inte har någon heltalslösning. Om q delar p, så måste q=p och därmed 3p2 + 6p = 2p2 + 7p, vilket har lösningarna p=0 och p=1, som dock inte är primtal.

Återstår alltså att q delar (p+2), dvs. p+2=kq, där k är ett positivt heltal. Ekvationen blir då 3(kq-2)kq = 2q2 + 7q, dvs. (3k2 - 2)q2 = (6k+7)q. Detta ger

6k+7 = (3k2 - 2)q >= 6k2 - 4, ty q>=2,

dvs. 6k2 - 6k -11 =< 0. Men om k>=2, så är 6k2 - 6k -11 = 6k(k-1)-11 >=12-11=1, en motsägelse. Alltså k=1, vilket ger q=p+2 och därmed 3p(p+2)=(p+2)(2p+11), dvs. p=11 och q=13, vilket är den enda primtalslösningen.

/Jana


3. Antag att påståendet inte gäller, dvs. att det finns positivt heltal k sådant att för alla positiva heltal m, n sådana att m+n>k, gäller

f(m,n) >= f(m+1,n) + f(m,n+1) > f(m+1,n) + 1, ty f(x,y)>1. Eftersom (m+1)+n>k, så gäller enligt ovan (med m+1 istället för m)

f(m+1,n)>f(m+2,n)+1 och därmed f(m,n)>f(m+2,n)+2.

Upprepa detta r gånger för att få

f(m,n)> f(m+r,n)+r > r+1,

för alla r=1,2,... Men då borde f(m,n) vara oändligt för alla m,n sådana att m+n>k, vilket är omöjligt. Vårt antagande i början måste alltså vara fel, dvs. påståendet i uppgiften är bevisat.

/Jana



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03