Linköpings Universitet

Oktober 2007

1. En triangel har vinklar v,2v och 4v. Visa att för dess sidlängder gäller 1/a=1/b+1/c.

2. I basen (talsystemet) 10 gäller 24 · 24 = 576. I basen 2 gäller 11 · 11 = 1001.

(a) I vilken bas måste multiplikationen 23 · 24 = 574 vara skriven för att vara rätt?

(b) Finns det någon bas x så att i denna bas gäller ab · c1 = abc1 för några siffror a, b, c?

Lösningar

1. Låt vinkeln vid hörnet A vara v, vid hörnet B 2v och vid C 4v. Då har vi a = |BC|, b = |CA| och c = |AB|. På sidan AB bestäm punkter D och E, så att vinklarna BCD och ACE är båda v. (Rita en bild!) Trianglarna ACE och BCE är nu likbenta (med vinklarna v, v, 5v samt 2v, 2v, 3v) och därmed

|AE| = |CE| = |BC| = a och |BE| = |AB| - |AE| = c - a.

Även trianglarna ACD och CDE är likbenta (med vinklarna v, 3v, 3v samt 2v, 3v, 2v), vilket medför |DA| = |CA| = b och därmed |CD| = |DE| = |DA| - |AE| = b - a.

Slutligen är trianglarna CDE och BCE likformiga vilket ger |CD| : |BC| = |CE| : |BE|, dvs. (b-a) / a = a / (c-a). Det ger likheten (b-a)(c-a)=a² och efter förenkling bc = ab + ac. Division med abc ger 1/a = 1/b + 1/c.

/Jana

2. (a) I talsystemet med basen x betyder 23 · 24 = 574 att (2x + 3) (2x + 4) = 5x² + 7x + 4 och efter förenkling

x² - 7x - 8 = 0. Lösningarna är -1 (som förkastas) och 8 som är svaret.

(b) Vi söker x så att (ax + b) (cx + 1) = ax³ + bx² + cx + 1 för några siffror a,b,c < x. Eftersom c < x och både c och x är heltal, har vi cx + 1 < x² och därmed (ax + b) (cx + 1) < (ax + b) x² < ax³ + bx² + cx + 1. Det finns alltså ingen bas x, så att i detta talsystem ab . c1 = abc1.

/Jana

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03