Göm meny

Mars 2007

1. Låt p vara ett primtal. Visa att vid division med 30 får p resten som är antingen 1 eller ett primtal mindre än 30.

2. Peter och Linda vill bygga en pappersdrake i form av en fyrhörning (ej nödvändigtvis regelbunden), vars diagonaler förstärks av två träpinnar. De har en 120cm lång träpinne som de skall göra diagonalerna av. Hur långa skall diagonalerna vara och vilken vinkel skall det vara mellan dem för att drakens area skall bli störst möjlig?

Lösningar

1. Om p < 30, så är resten lika med p, dvs. ett primtal mindre än 30. Om p > 30, skriv p=30k+r, där 0 < r < 30 är resten vid division med 30. Om r vore delbart med 2,3 eller 5, så skulle även 30k+r vara delbart med detta, ty 30=2.3.5. Detta kan inte hända, ty p=30k+r är ett primtal. Det minsta sammansatta talet som inte är delbart med 2,3 eller 5 är 7.7=49. Resten r kan alltså inte vara ett sammansatt tal mindre än 30, det måste alltså vara antingen 1 eller ett primtal mindre än 30.

/Jana

2. För att maximera fyrhörningens area, gör vi diagonalerna så långa som möjligt. Låt deras längder vara x och 120-x, där x skall bestämmas senare. Vinkeln mellan diagonalerna betecknas v. Diagonalen med längd 120-x delar fyrhörningen i två trianglar, båda med basen 120-x. Trianglarnas höjder h1 och h2 motsvarar var sin bit av diagonalen x och vi får

x = h1/ sin v + h2/ sin v.

Alltså h1 + h2 = x sin v. Trianglarnas sammansatta area är då

(120-x)h1/2 + (120-x)h2/2 = (120-x)(x sin v)/2.

För att maximera denna area måste sin v = 1, dvs. v=90o. Det återstår att maximera produkten

(120-x)x = 120x - x2 = -(x-60)2 + 602.

Eftersom (x-60)2 är ickenegativt, så blir produkten störst om x=60, dvs. om diagonalerna är lika långa.

Drakens area blir alltså störst om diagonalerna är lika långa och vinkelräta. Det spelar däremot ingen roll i vilken punkt diagonalerna skär varandra.

/Jana


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03