Homepage
april 2007
1. Hitta alla positiva heltalslösningar (x,y,z) till ekvationen 1/x + 1/y + 1/z = 1.
2. Varje hörn i en regelbunden 11-hörning är blå eller röd. Visa att man kan hitta tre hörn av samma färg som bildar en likbent triangel.
Lösningar
1. Det är klart att x,y,z>1. Vi löser först problemet under antagandet att x<=y<=z och permuterar sedan. Om x>3, så är även y,z>3 och därmed 1/x+1/y+1/z<1. Alltså x=2 eller x=3.
För x=3 har vi 1/y+1/z=2/3. Om y>3, så är z>3 och därmed 1/y+1/z<2/3. Alltså måste y=3 och z=3.
För x=2 har vi 1/y+1/z=1/2. Om y>4, så är z>4 och därmed 1/y+1/z<1/2. Alltså måste y=3 (och z=6) eller y=4 (och z=4).
Lösningarna är alltså (3,3,3), (2,3,6), (2,4,4) och alla permutationer av dessa. Totalt 1+6+3=10 lösningar.
/Jana
2. (Efter Johannes Rehnström) Välj ett rött hörn och kalla det (1). Numrera resten av hörnen från (2) till (11) i någon riktning. Om det finns en röd likbent triangel, så är vi klara. Antag därför att det inte finns någon röd likbent triangel. Det betyder att (6) och (7) kan inte båda vara röda, säg att (6) är blå. P.s.s. är minst en av (5) och (8) blå, så om även (7) är blå, så finns det minst en blå likbent triangel: (5)(6)(7) eller (6)(7)(8), och vi är klara. Om (7) är röd, så måste (4) vara blå (annars vore (1)(4)(7) en röd likbent triangel). Eftersom minst en av (5) och (8) är blå, så är minst en av trianglarna (4)(5)(6) och (4)(6)(8) blå. Vi har alltså fått minst en blå likbent triangel, vilket skulle visas.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03