Göm meny

Februari 2007

1. Visa att bland talen 22N+3, där N=1,2,..., finns oändligt många sammansatta tal (dvs. tal som inte är primtal).

2. Kanotisten paddlade först motströms och sedan åkte tillbaka medströms utan att paddla. Båda färderna tog lika lång tid. Nästa dag tänkte hon paddla både motströms och även tillbaka medströms. Hon startar kl. 14 och vill vara tillbaka senast kl. 18. När måste hon senast vända om vi antar att hon hela tiden paddlar lika snabbt och att strömmens hastighet är konstant?


Lösning          


Mars 2007

1. Låt p vara ett primtal. Visa att vid division med 30 får p resten som är antingen 1 eller ett primtal mindre än 30.

2. Peter och Linda vill bygga en pappersdrake i form av en fyrhörning (ej nödvändigtvis regelbunden), vars diagonaler förstärks av två träpinnar. De har en 120cm lång träpinne som de skall göra diagonalerna av. Hur långa skall diagonalerna vara och vilken vinkel skall det vara mellan dem för att drakens area skall bli störst möjlig?


Lösning          


April 2007

1. Hitta alla positiva heltalslösningar (x,y,z) till ekvationen 1/x + 1/y + 1/z = 1.

2. Varje hörn i en regelbunden 11-hörning är blå eller röd. Visa att man kan hitta tre hörn av samma färg som bildar en likbent triangel.


Lösning          


Maj 2007

1. Hitta alla reella tal a,b,c som är lösningar till ekvationen x3 - ax2 + bx - c = 0.

2. Punkten M ligger i kvadraten ABCD och dess avstånd från hörnen A,B och C är 7,13 och 17. Bestäm kvadratens area.


Lösning          

Vårterminens vinnare:   Peter Zaren, Uppsala , Johannes Rehnström, Kristinehamn och Jonatan Wårdh, Västerås


Sommar 2007

1. I en triangel är sidlängder a,b,c och motsatta vinklar u,v,w. Visa att

(a sin u)1/2 + (b sin v)1/2 + (c sin w)1/2 = (a + b + c)1/2 (sin u + sin v + sin w)1/2.

(Exponenten 1/2 betyder förstås "roten ur".)

2. Hitta alla primtal p och q sådana att 3p2 + 6p = 2q2 +7q.

3. För varje par reella tal x,y är f(x,y) ett reellt tal sådant att f(x,y)>1. Visa att för varje positivt heltal k finns positiva heltal m,n sådana att m+n>k och

f(m,n) < f(m+1,n)+f(m,n+1).


Lösning          

Sommarens vinnare:   Sirar Alsam, Tranås


September 2007

1. I en fotbollsturnering för barn födda 1996-97 deltog n lag födda 97 och 5n lag födda 96. Varje lag mötte vart och ett av de andra lagen exakt en gång. Man fick två poäng för en seger, en poäng var vid oavgjord match och inga poäng vid en förlust. Lagen födda 96 fick ihop dubbelt så många poäng som lagen födda 97. Hur många lag deltog i turneringen och vem vann?

2. Anna och David diskuterar talföljder.

Anna säger: Om 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) är en aritmetisk talföljd, så är även a2, b2, c2 en aritmetisk talföljd.

David säger: Om a2, b2, c2 är en aritmetisk talföljd, så är även 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) en aritmetisk talföljd.

Vem har rätt?


Lösning          


Oktober 2007

1. En triangel har vinklar v,2v och 4v. Visa att för dess sidlängder gäller 1/a=1/b+1/c.

2. I basen (talsystemet) 10 gäller 24 · 24 = 576. I basen 2 gäller 11 · 11 = 1001.

(a) I vilken bas måste multiplikationen 23 · 24 = 574 vara skriven för att vara rätt?

(b) Finns det någon bas x så att i denna bas gäller ab · c1 = abc1 för några siffror a, b, c?


Lösning          


November 2007

För vilka reella tal x gäller logx2 · log2x2 = log16x2 ? ( logba är logaritmen av a vid bas b, dvs. blogba = a)


Lösning          


Julnötter 2007

1. Finns det några positiva heltal n sådana att ekvationen xny = xyn + 2008 har heltalslösningar?

2. Lisa klippte ett rektangulärt papper med arean 600cm2 i tre trianglar så att deras areor A1, A2 och A3 bildar en aritmetisk följd. Bestäm A1, A2 och A3.


Lösning          

Höstterminens vinnare:   Viktor Hallman, Göteborg.



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2008-06-11