Homepage
September 2006
1. Kan man lägga ut 31 dominobrickor (2x1) på en schackbräda med två diagonalt motsatta hörnrutor borttagna?
2. n fiskare (där n är ett primtal) fiskar tillsammans och kommer överens om att dela lika på fångsten. På natten vaknar en av dem, delar fångsten i n lika delar, men en fisk blir över. Han kastar den i vattnet, tar sin n-tedel och går hem. Sedan vaknar nästa fiskare och vet inte att en redan har tagit sin del. Hon delar fångsten i n lika delar och kastar en fisk som blev över i vattnet. Sedan tar hon sin n-tedel och går hem. De övriga fiskare gör i tur och ordning likadant tills den sista kommer, kastar en fisk i vattnet, delar resten i n lika delar, tar sin del bestående av n fiskar och går hem. Hur många var fiskare och hur många fiskar fick de?
Lösningar
1. En dominobricka täcker alltid en vit och en svart ruta. 31 dominobrickor täcker därför 31 vita och 31 svarta rutor. Två diagonalt motsatta rutor på en schackbräda har alltid samma färg. Vi har alltså antingen 30 vita och 32 svarta eller 32 vita och 30 svarta rutor kvar på schackbrädan. Dessa kan inte täckas med 31 dominobrickor.
/Jana
2. När den sista fiskaren skall dela fångsten, så måste det finnas n2+1 fiskar kvar (n fiskar tänkta till var och en av fiskare och en som kastas i vattnet). Dessa n2+1 fiskar har den näst sista fiskaren lämnat till sina n-1 kollegor. Det betyder att n2+1 måste vara delbart med n-1. Eftersom n2+1 = (n-1)2 +2n, så måste 2n vara delbart med n-1. Eftersom n är ett primtal, så är det inte delbart med n-1 med mindre än att n-1=1. Alltså är n=2 eller så måste 2 vara delbart med n-1, vilket ger n=2 eller n=3. Vi får två lösningar:
n=2: När den andra fiskaren kom, fanns 22+1=5 fiskar, som den första fiskaren hade lämnat. Han tog 5 fiskar själv och kastade en i vattnet. Hela fångsten var alltså 2.5+1=11 fiskar.
n=3: Den tredje fiskaren såg 32+1=10 fiskar. Dessa har lämnats av den andra fiskaren, som själv tog 10:2=5 fiskar. Hon såg alltså 3.5+1=16 fiskar. Den första fiskaren tog alltså 16:2=8 fiskar, lämnade 16 och kastade en i vattnet. Totalt fångade de 16+8+1=25 fiskar.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03