Linköpings Universitet

November 2006

1. I en aritmetisk följd gäller a₆ + a₉ + a₁₂ + a₁₅ = 20. Bestäm summan a₁ + a₂ + ... + a₁₉ + a₂₀.

2. Låt a och b vara rationella tal sådana att a^1/2 + b^1/2 också är ett rationellt tal. Visa att då är både a^1/2 och b^1/2 rationella tal.

---

Lösningar

1. I en aritmetisk följd gäller a_n = a₁ + (n-1)d, där d är differensen. Vi har alltså

20 = a₆ + a₉ + a₁₂ + a₁₅ = 4a₁ + (5+8+11+14)d = 4 a₁ + 38d.

För summan a₁ + a₂ + ... + a₁₉ + a₂₀ gäller

a₁ + a₂ + ... + a₁₉ + a₂₀ = 20a₁ + (1+2+3+ ... +19)d = 20a₁ + 190d = 5 (4a₁ + 38d) = 100.

/Jana

---

2.

Eftersom både a och b är rationella, så är även a-b ett rationellt tal.

Då blir även a^1/2 - b^1/2 = (a-b)/(a^1/2 + b^1/2) ett rationellt tal. Men a^1/2 = ((a^1/2 + b^1/2) + (a^1/2 - b^1/2))/2, så a^1/2 måste vara rationellt. P.s.s. är b^1/2 rationellt.

/Jana

---

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03