Homepage
Mars 2006
1. Punkt P ligger innuti kvadraten ABCD, så att sträckorna |AP|, |BP| och |CP| är i förhållande 1:2:3. Bestäm vinkeln APB.
2. Klara tänker på två positiva heltal, vars summa inte överstiger elva, och meddelar deras produkt till Lena och deras summa till Maria. Vi hör följande samtal:
Lena: Jag vet inte vilka tal Klara tänker på.
Maria: Jag viste att du inte skulle veta det.
Lena: Nu vet jag vilka tal Klara tänker på.
Maria: I så fall vet även jag det.
Vilka tal tänkte Klara på?
Lösningar
1. Rotera triangeln APB 90o runt punkten B, så att den övergår i triangeln CP'B. Triangeln PBP' är alltså rättvinklig och likbent med sidorna PB och P'B av längd 2. Pythagoras sats ger då att sidan PP' har längd 23/2.
Triangeln PP'C har alltså sidlängder 23/2, 1, 3 och är därmed rättvinklig, ty (23/2)2 + 12 = 8+1 = 32, med rätt vinkel PP'C.
Eftersom vinkeln PP'B är 45o, får vi att vinkeln CP'B (och därmed även APB) är 45o + 90o = 135o.
/Jana
2. Summan av båda talen är minst två, så vi får följande möjligheter:
Summa (Maria):
2=1+1
3=2+1
4=3+1=2+2
5=4+1=3+2
6=5+1=4+2=3+3
7=6+1=5+2=4+3
8=7+1=6+2=5+3=4+4
9=8+1=7+2=6+3=5+4
10=9+1=8+2=7+3=6+4=5+5
11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5
Motsvarande produkter (Lena) är:
1
2
3, 4
4, 6
5, 8, 9
6, 10, 12
7, 12, 15, 16
8, 14, 18, 20
9, 16, 21, 24, 25
10, 18, 24, 28, 30
Produkterna 1, 2, 3, 5, 7, 14, 15, 20, 21, 25, 28 och 30 kan bara fås på ett enda sätt. I så fall skulle Lena veta, vilka talen var. Vi kan alltså stryka de rader (summor), som innehåller dessa produkter (Maria visste ju att Lena inte skulle veta talen). Vi har kvar:
5=4+1=3+2
7=6+1=5+2=4+3
med produkter
4, 6
6, 10, 12
Nu vet Klara vilka tal det handlar om, så produkten kan inte vara 6=3.2=6.1. Summan kan inte vara 7, för då skulle Maria fortfarande inte veta om det är 5+2 elle 4+3. Återstår talen 4 och 1, med produkt 4 och summa 5.
/Jana
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03