Göm meny

April 2006

1. Lisa och hennes bror Nisse är på en flygplats och kommer till en lång korridor där det finns ett rullband som rör sig framåt med hastigheten 1 m/s. Man kan också gå bredvid rullbandet. Nisse börjar springa på rullbandet och samtidigt börjar Lisa springa bredvid rullbandet. När de kommer fram till slutet av rullbandet vänder de och springer tillbaka. Nisse springer fortfarande på rullbandet, och alltså nu mot dess riktning. När de kommer tillbaka till startpunkten vänder de igen och springer till slutet av rullbandet. Om Nisse och Lisa springer exakt lika fort, vem kommer då fram först? Beror det på hur fort de springer?

2. Hur många tärningar ska man kasta om man vill maximera chansen att få exakt en sexa?


Lösningar

1. Om Nisse springer långsammare än 1m/s, så kommer han inte tillbaka motströms och Lisa vinner. Vi antar alltså att barnen springer med hastighet v > 1. Låt s vara rullbandets längd. Nisses tid på rullbandet blir 2s/(v+1) + s/(v-1) = s(3v-1)/(v2-1) och Linas 3s/v. Vi löser olikheten s(3v-1)/(v2-1) < 3s/v. Eftersom v > 1, så är v2-1 > 0 och olikheten är ekvivalent med (3v-1)v < 3(v2-1), vilket ger v > 3.

Svar: Nisse vinner om han springer snabbare än 3m/s, annars vinner Lisa.

/Jana


2. Man kan kasta n tärningar på 6n sätt. Hur många av dessa innehåller exakt en sexa? På en av dessa n tärningar skall det vara en sexa, detta ger n möjligheter. På de övriga n-1 tärningarna kan vi endast ha talen 1,2,3,4 eller 5. Dessa kan fås på 5n-1 olika sätt. Sammanlagd kan exakt en sexa fås på 5n-1n sätt och sannolikheten för detta blir då f(n)= (5/6)n n/5. Vi maximerar f(n) genom derivering: f'(x) = (5/6)n (1+x ln(5/6))/5 > 0 för x < -1/ln(5/6) = 5.4848... Antalet tärningar är ett heltal, vi kollar alltså f(5) och f(6) och får f(5) = (5/6)5 = f(6).

Svar: Chansen är störst om man kastar 5 eller 6 tärningar.

/Jana



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03