Göm meny

Februari 2006

1. De positiva (dvs. större än noll) heltalen a,b,c bildar en s.k. Pythagorisk trippel, dvs. a2 + b2 = c2. Visa att ekvationen an + bn = cn inte har någon heltalslösning n > 2.

2. En cirkelskiva med mittpunkt M och radie r är given. Dela den i fyra exakt lika delar genom att endast använda passare (ej linjal).

Lösning          


Mars 2006

1. Punkt P ligger innuti kvadraten ABCD, så att sträckorna |AP|, |BP| och |CP| är i förhållande 1:2:3. Bestäm vinkeln APB.

2. Klara tänker på två positiva heltal, vars summa inte överstiger elva, och meddelar deras produkt till Lena och deras summa till Maria. Vi hör följande samtal:

Lena: Jag vet inte vilka tal Klara tänker på.

Maria: Jag viste att du inte skulle veta det.

Lena: Nu vet jag vilka tal Klara tänker på.

Maria: I så fall vet även jag det.

Vilka tal tänkte Klara på?

Lösning          


April 2006

1. Lisa och hennes bror Nisse är på en flygplats och kommer till en lång korridor där det finns ett rullband som rör sig framåt med hastigheten 1 m/s. Man kan också gå bredvid rullbandet. Nisse börjar springa på rullbandet och samtidigt börjar Lisa springa bredvid rullbandet. När de kommer fram till slutet av rullbandet vänder de och springer tillbaka. Nisse springer fortfarande på rullbandet, och alltså nu mot dess riktning. När de kommer tillbaka till startpunkten vänder de igen och springer till slutet av rullbandet. Om Nisse och Lisa springer exakt lika fort, vem kommer då fram först? Beror det på hur fort de springer?

2. Hur många tärningar ska man kasta om man vill maximera chansen att få exakt en sexa?

Lösning          


Maj 2006

1. Låt p > 2 och q > 2 vara heltal. Visa att om en fyrhörning har sidlängder p, q, pq och p+q (i godtycklig ordning!), så måste en av dess diagonaler vara kortare än 11.

2. För vilka reella parametrar m har ekvationssystemet

x2 + y2 = 4

(x-m)2 + (y+m)2 =1

med obekanta x och y exakt en reell lösning?

Lösning          

Vårterminens vinnare:   Rafael Sytniowski, S:t Eskils Gymansium, Eskilstuna och Sebastian Ekeroth, Vimmerby gymnasium

Sommaren 2006

1. Hitta alla primtal p och positiva heltal n för vilka har ekvationen

x2 -2(pn + 2)x + p2n = 0

heltalslösning.

2. En femhörning, en sexhörning och en tiohörning är inskrivna i en och samma cirkel. Deras sidlängder är i tur och ordning f, s och t. Visa att s2 + t2 = f2.

3. En vinkruka innehåller n liter vin (n > 2 är ett heltal). Den girige vinhandlaren säljer varje dag en liter från krukan och häller i en liter vatten. Efter n dagar innehåller krukan mindre än en liter vin, resten är vatten. Hur många liter vin innehöll krukan från början?

Lösning          

Sommarens vinnare:   Björn Fant, Korsholms Gymnasium, Finland


September 2006

1. Kan man lägga ut 31 dominobrickor (2x1) på en schackbräda med två diagonalt motsatta hörnrutor borttagna?

2. n fiskare (där n är ett primtal) fiskar tillsammans och kommer överens om att dela lika på fångsten. På natten vaknar en av dem, delar fångsten i n lika delar, men en fisk blir över. Han kastar den i vattnet, tar sin n-tedel och går hem. Sedan vaknar nästa fiskare och vet inte att en redan har tagit sin del. Hon delar fångsten i n lika delar och kastar en fisk som blev över i vattnet. Sedan tar hon sin n-tedel och går hem. De övriga fiskare gör i tur och ordning likadant tills den sista kommer, kastar en fisk i vattnet, delar resten i n lika delar, tar sin del bestående av n fiskar och går hem. Hur många var fiskare och hur många fiskar fick de?

Lösning          


Oktober 2006

1. Kalle vill klippa ut en parallellogram från papper men vet inte hur han skall göra för att få motsatta sidor parallella. Anna föreslår att han först klipper ut en godtycklig (helt oregelbunden) fyrhörning ABCD och genom vikning hittar sidornas mittpunkter A',B',C' och D' (där A' är mittpunkten för sidan AB och så vidare). Hon påstår att A'B'C'D' är en parallellogram (dess motsatta sidor är parallella) och att dess area dessutom är precis hälften av fyrhörningen ABCD:s area. Har Anna rätt? Motivera ditt svar!

2. Hitta alla positiva heltal n sådana att 1!+2!+...+n! är kvadraten av ett heltal. (Anm: n! är fakultet och definieras som n!=1.2.3...(n-1)n.)

Lösning          


November 2006

1. I en aritmetisk följd gäller a6 + a9 + a12 + a15 = 20. Bestäm summan a1 + a2 + ... + a19 + a20.

2. Låt a och b vara rationella tal sådana att a1/2 + b1/2 också är ett rationellt tal. Visa att då är både a1/2 och b1/2 rationella tal.

Lösning          


Julnötter 2006

1. (a) Hitta (utan hjälp av dator!) alla positiva heltal x och y sådana att 6x + xy + 6y = 2006.

(b) Hitta (utan hjälp av dator!) alla positiva heltal x och y sådana att 7x + xy + 7y = 2007.

2. I en regelbunden 2007-hörning väljer vi en godtycklig punkt M. Visa att det finns två hörn A och B bland 2007-hörningens hörn sådana att vinkeln < AMB är mindre än 180o och större än eller lika med (1-2/2007) 180o.

Lösning          

Höstterminens vinnare:   Julia Åhlen, Gävle och Anton Mannerfelt, Rudbeckianska gymnasiet



Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2007-02-02