Göm meny

Julnötter 2004

1a. I en aritmetisk talföljd är skillnaden mellan två närliggande tal konstant. Exempelvis är följden 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... aritmetisk med den konstanta skillnaden 3. Ge exempel på en (oändlig) aritmetisk följd av positiva heltal som inte innehåller något kvadrattal (kvadraten på ett heltal).

1b. Bevisa att om en (oändlig) aritmetisk följd av positiva heltal innehåller något kvadrattal så måste den innehålla oändligt många kvadrattal.

2. 100 passagerare har var sin biljett till 100 platser på ett flygplan. En av passagerarna är blind, och får därför gå ombord först. Eftersom han inte vet vilken plats han har, väljer han slumpmässigt en av platserna. Därefter går de övriga passagerarna ombord en i taget. Var och en sätter sig i första hand på sin plats, men om den är upptagen, väljer de slumpmässigt en av de lediga platserna. Alla slumpmässiga val görs oberoende och med lika sannolikhet för alla alternativ. Hur stor är sannolikheten att den passagerare som går ombord sist får sin plats?

Lösningar

1a. Ett exempel på en aritmetisk följd som inte innehåller något kvadrattal är följden 2, 6, 10, 14, osv. Dessa tal är jämna, men inte delbara med 4. Eftersom kvadraten av ett udda tal är udda, medan kvadraten av ett jämnt tal är delbar med 4, kan denna talföljd inte innehålla något kvadrattal. Det finns även många andra sådana följder, till exempel talen 2, 5, 8, 11 etc.

1a. Antag att en aritmetisk följd innehåller kvadrattalet n2, och att differensen mellan konsekutiva termer i följden är d. Då innehåller följden också kvadraterna av talen n+d, n+2d osv, eftersom (n+kd)2 = n2 + (2nk + k2d)d.

/Johan

2. Den passagerare som går ombord sist får antingen sin egen plats, eller den plats som den blinde passageraren har biljett till, ty de övriga passagerarna kommer ju att sätta sig på sina respektive platser om dessa platser inte redan är upptagna. Eftersom både den blinde passageraren och den som går ombord sist väljer sina platser oberoende av vilken plats de har biljett till, skulle sannolikheten för en viss placering av passagerarna ha varit densamma även om dessa två passagerare bytte biljetter med varandra. Sannolikheten för att den siste passageraren får sin plats är alltså lika stor som sannolikheten att han inte får sin plats, dvs 1/2.

/Johan


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03