Göm meny

Februari 2003

1. Ett nytt bostadsområde med höghus ska byggas och arkitekten har bestämt att våningarna ska målas i vitt och blått, dessutom får det inte vara två blåa våningar direkt ovanpå varandra. För att få lite variation får inga hus vara målade på samma sätt. Låt h(n) beteckna maximalt antal hus med n våningar. Kan du hitta en relation mellan h(n+2), h(n+1) och h(n)? Använd relationen för att beräkna hur många 16-våningshus som kan byggas!

2. Andragradskurvan y = x2 betraktas från en punkt P under kurvan. Vinkeln v är den del av synfältet som upptas av kurvan (se figur). För vilka punkter P i planet är v en rät vinkel?

Lösning           Vinnare:   Erik Nordvall, Välkommaskolan, Gällivare


Mars 2003

1. Emilie har ett dominospel med 28 brickor. Varje bricka är indelad i två halvor, och på varje halva finns ett tal från 0 till 6. Alla kombinationer av två tal (lika eller olika) finns med en gång. Emilie lägger ut en rad med brickor, så att två brickor som ligger intill varandra alltid har samma tal i de ändar som gränsar mot varandra. Hon fortsätter tills det inte går att lägga ytterligare en bricka i någon av ändarna på raden, dvs tills ingen av de kvarvarande brickorna har något av de tal som finns i ändarna på raden. Då utbrister hon: --- Pappa, det är en trea i båda ändarna! Förra gången blev det en sexa i båda ändarna. Blir det alltid samma sak i båda ändarna när man är klar?
Vad ska pappa svara?

2. Låt x, y och z vara reella tal. Lös ekvationssystemet

x + y + z = 1
x2 + y2 + z2 = 1
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = 0

Lösning           Vinnare:   Joel Uddén, Sundsvalls gymnasium, Sundsvall


April 2003

1. Djupt inne i en byrå finns fem par strumpor i fem olika färger. Vi drar tre strumpor på måfå ur byrån. Vad är sannolikheten att vi får två av samma färg?

2. Låt rk vara kvadratroten ur k avrundat till närmaste heltal. Bestäm heltalet N så att

1/r1 + 1/r2 + ... + 1/rN  =  2003

Lösning           Vinnare:   Fredrik Svensson, Malmö Borgarskola, Malmö


Maj 2003

1a. Hur många stryktipsrader måste man tippa för att vara säker på att få en rad med minst 5 rätt? En rad består som bekant av 13 matcher som ska tippas 1, X eller 2.

1b. Gör ett system med så få rader du kan som garanterar en rad med minst 6 rätt.

2. Punkten Q och den liksidiga triangeln ABC ligger i samma plan. Låt |CQ| vara längden av sträckan CQ. Bestäm det största värdet av |CQ| om |AQ| = 2 och |BQ| = 3.

Lösning           Vinnare:   -


Sommaren 2003

1. En kvadratisk papperslapp med sidan 6 cm viks med tre veck till en tetraeder (ej nödvändigtvis regelbunden). Hur stor volym har tetraedern?

2. De på varandra följande kvadrattalen 132 = 169 och 142 = 196 kan fås ur varandra genom att man kastar om siffrorna. Detsamma gäller 1572 = 24649 och 1582 = 24964. Visa att det inte finns tre på varandra följande kvadrattal som alla kan fås ur varandra genom omkastning av siffrorna.

3a. Visa att man med hjälp av balansvåg och 10 vikter på 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 och 512 gram kan ange vikten på alla föremål som väger mindre än ett kilo med ett fel som inte är större än 1/2 gram, om föremålet placeras i ena vågskålen och vikterna i den andra.

3b. Är det möjligt att göra samma sak med bara 9 vikter? Varför?

3c. Om man får placera vikter i båda vågskålarna, hur många vikter behövs då?

Lösning           Vinnare:   Said Aspen, Katedralskolan, Lund


September 2003

1. I en restaurang behövs 9 eller 10 servitörer varje kväll. Det är 33 servitörer som arbetar där och det visade sig att efter ett antal kvällar så har alla jobbat precis lika mycket. När kan det tidigast ha inträffat?

2. Funktionen x5 kan beräknas med 3 multiplikationer genom att man i tur och ordning beräknar x2=x*x, x4=x2*x2 och x5=x*x4. Hur många multiplikationer krävs för att beräkna x15, x77 respektive x128?

Lösning           Vinnare:   Kristoffer Schill, Växjö Fria Gymnasium, Växjö


Oktober 2003

1. Timo vill ha sitt frukostägg kokat i exakt 9 minuter. Till sitt förfogande har han två timglas. I det större tar det 7 minuter för sanden att rinna igenom och i det mindre går det på 4 minuter. Hur ska han gå till väga?

2a. Hur stor area har den största rektangel som kan skrivas in i en cirkel med radie 1?

2b. Hur stor area har den största rektangel som kan skrivas in i ellipsen (x/a)2+(y/b)2 = 1 ?

Lösning           Vinnare:   Erik Edlund, Sundsta-Älvkullegymnasiet, Karlstad


November 2003

1. I EU:s pluttifikationsutskott sitter 5, 6 eller 7 personer från vart och ett av de 15 medlemsländerna. Andelen kvinnor är 39,7% (avrundat till tiondels procent). Hur många personer sitter i utskottet?

2. Vad är det för fel på figuren?

Lösning           Vinnare:   -


Julen 2003

1. Lisa säger till Nisse: "Det blir soligt i morgon, jag slår vad om att Kalle tänker tvätta bilen." Nisse, som vet att Kalle tvättar sin Peugeot exakt tre gånger varje vecka, svarar: "OK, hur mycket satsar du?" De kommer överens om att Lisa ska starta med 100 kronor, och varje morgon under en vecka får hon satsa ett valfritt belopp på att Kalle kommer att tvätta bilen den dagen. Om det stämmer, vinner hon lika mycket som hon har satsat, annars förlorar hon insatsen. Nisse tänker att eftersom Kalle tvättar bilen tre dagar i veckan, men låter bli fyra dagar i veckan, borde han ha större chanser att vinna. Lisa vet också att Kalle tvättar bilen exakt tre gånger i veckan. Hon inser att hon kan utnyttja den information hon får efter hand för att bestämma sin insats dag för dag.

Finns det någon strategi som gör att Lisa kan vara säker på att sluta med mer än 100 kronor? Hur stor vinst kan hon garantera i värsta fall, och hur mycket ska hon då satsa första dagen?

2. Några personer möts på ett café och börjar diskutera vilka av dem som träffats vid något tidigare tillfälle. Det visade sig att om man väljer ut tre av dem, så är det alltid några av dessa tre som mötts innan och dessutom är det alltid några av dem som inte träffats tidigare.

Hur många personer kan det högst ha varit?

Lösning           Vinnare:   Björn Edlund, Sundsta-Älvkullegymnasiet, Karlstad


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2004-07-22