Homepage
Februariproblemen 2002
1. Åtta torn är uppställda på ett schackbräde så att inget torn hotar något annat (en pjäs i varje rad och varje kolumn). Sju av tornen står på svarta rutor. Kan det åttonde tornet stå på en vit ruta?
2. Fido har sin hundkoja mitt i trädgården. Kojan är kvadratisk med sidan 7 dm och Fido är kopplad vid ena hörnet. Om Fido sträcker kopplet så når hans nos 24 dm från hörnet. Katten Nisse gillar att retas. Hur nära kojan kan Nisse sätta sig utan att Fido kommer åt honom?
Lösningar
1. Svaret är nej, om sju av tornen står på svarta rutor, måste även det åttonde tornet stå på en svart ruta. Vi presenterar här två lösningsförslag. Båda bygger på resonemang om paritet, dvs udda-jämnt-resonemang. Båda lösningarna går ut på att visa att om det står ett torn på varje rad och ett torn i varje kolumn, eller linje som schackspelare säger, så måste antalet torn på svarta rutor vara ett jämnt tal. Detta antal kan alltså inte vara sju.
a)
I den första lösningen inför vi ett sätt att flytta tornen som vi kallar för
en "flip": Om ett torn står i rad a och kolumn b, och ett annat torn står i
rad c kolumn d, vilket vi kan skriva (a,b) resp (c,d), kan vi flytta dem så
att de hamnar på rutorna (a,d) resp (b,c). Denna operation kallar vi alltså
för en flip.
Antag nu att det står precis ett torn i varje rad och i varje kolumn. Observera att detta fortfarande kommer att gälla om vi flippar två av tornen. De två torn som flippas kommer ju fortfarande att uppta samma två rader och samma två kolumner. Vi kan nu "städa" tornarrangemanget, så att alla tornen hamnar på en av brädets diagonaler, genom successiva flippar. Vi kan börja med att flippa tornet i första raden med tornet i första kolumnen (om detta är två olika torn). Resultatet av detta blir att det hamnar ett torn i ruta (1,1). Om det nu inte redan står ett torn i rutan (2,2), flippar vi tornet i rad 2 med tornet i kolumn 2. Observera att tornet i ruta (1,1) inte berörs av detta. Det står då ett torn i ruta (2,2). Vi fortsätter sedan med att flippa tornet i rad 3 med tornet i kolumn 3 och så vidare, ända tills tornen står i rutorna (1,1), (2,2), (3,3),...,(8,8).
Poängen är att när man gör en flip, ändras inte pariteten av antalet torn på svarta rutor. Om de två torn man flippar står på rutor av olika färg före flippen, kommer de fortfarande att stå på rutor av olika färg efter flippen, och om tornen står på rutor av samma färg före flippen, kommer de att stå på rutor av samma färg efter flippen (dvs samma färg som varandra, inte nödvändigtvis samma färg som före flippen). Det totala antalet torn på svarta rutor kan alltså öka eller minska med 2, eller vara oförändrat. När tornen hamnar på en diagonal, kommer antalet torn på svarta rutor att vara jämnt (0 eller 8 beroende på vilken diagonal vi valde). Antalet torn på svarta rutor måste då ha varit jämnt från början.
(b)
Vi kan numrera rader och kolumner från 1 till 8, och således införa ett
koordinatsystem, så att de vita rutorna har två jämna eller två udda
koordinater, medan de svarta rutorna har koordinater av olika paritet. Antag nu
att det står åtta torn på ett schackbräde, ett i varje rad och ett i varje
kolumn, varav sju står på svarta rutor. Bland de fjorton tal som utgör
koordinater för dessa sju torn, finns alltså sju jämna och sju udda tal.
Eftersom varje tal från 1 till 8 förekommer två gånger som koordinat för ett
torn (en gång som rad och en gång som kolumn), finns det totalt åtta jämna och
åtta udda tal i listan på koordinater för tornen. Således måste det åttonde
tornet också ha en jämn och en udda koordinat, dvs det åttonde tornet måste
också stå på en svart ruta.
/Johan
2. I figuren nedan är kvadraten ABCD Fidos koja och Fido är kopplad i punkten D. Vi tänker oss att Fido går runt kojan med sträckt koppel, först medurs och sedan moturs. Då korsar Fido sitt eget spår i punkten Q, som ligger på förlängningen av sträckan BD. Om Nisse sätter sig precis utanför punkten Q kommer han så nära kojan som möjligt utan att Fido kan nå honom. Det sökta avståndet är alltså |BQ|.
 |
Låt M vara mittpunkt på sträckan AC. Pythagoras sats för den rätvinkliga och likbenta triangeln AMB ger:
|AM|2 = |BM|2 = |AB|2/2 = 49/2
Triangeln AMQ är också rätvinklig och har hypotenusan AQ med längden 24 - 7 = 17 dm. Pythagoras sats för AMQ ger:
|MQ|2 = |AQ|2 - |AM|2 = 289 - 49/2 = 529/2 = 232/2
Låt r(2) beteckna kvadratroten ur 2. Vi kan nu bestämma |BQ|:
|BQ| = |MQ| - |BM| = 23/r(2) - 7/r(2)= 16/r(2) = 8r(2)
Nisse kan alltså inte sätta sig närmare hundkojan än 8r(2) dm, vilket är cirka 11.3 dm.
/Jonas
Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03