Göm meny

Julproblemen 2001

1. För en tid sedan ordnade några elever i en Nv-klass en schackturnering vid Rudbeckianska Gymnasiet i Västerås. Åtta elever i klassen deltog i turneringen och alla mötte alla. Man fick 1 poäng för vinst och 1/2 poäng vid oavgjort (remi). Det visade sig att alla deltagarna hade olika poäng i slutställningen. Håkan kom tvåa och hade lika många poäng som de fyra sämst placerade hade tillsammans. Ted kom trea och David blev sjua. Hur gick det i partiet mellan David och Ted?

2. Visa att produkten av två på varandra följande positiva heltal tal aldrig kan skrivas som en potens av ett heltal där exponenten är större än ett. Dvs visa att ekvationen  m(m+1) = an  saknar lösningar då  m, a och n  är positiva heltal och  n > 1.

3. Ett korrekt mynt väger 10 g och ett falskt mynt väger 9 g. Om du har 4 mynt, kan du då med bara tre vägningar bestämma vilka som är korrekta och vilka som är falska. Vågen är av den typ som anger vikten vid varje vägning.


Lösningar

1. (Lösning av Anna-Maria Wiberg) Om alla möter alla kommer det att spelas 28 matcher och varje person spelar sju matcher, dvs möter de andra sju deltagarna. I varje match delas det ut ett poäng och den som vinner turneringen kan därför maximalt ha sju poäng. Håkan, som kom på andra plats, har lika många poäng som de fyra som kom sist tillsammans. När dessa fyra mötte varandra spelades det sex matcher och det delades totalt ut sex poäng. De fyra sämst placerade har därför minst sex poäng tillsammans vilket gör att Håkan har minst sex poäng. Men Håkan kan inte heller ha mer än sex poäng. Skulle Håkan ha 6,5 poäng så måste han ha spelat oavgjort mot segraren i turneringen. Denna skulle då som mest kunna ha 6,5 poäng vilket är lika mycket som Håkan och eftersom inga deltagare har lika många poäng är detta inte möjligt. Därför måste Håkan ha sex poäng. Det innebär att de fyra sämst placerade deltagarna tillsammans bara fick sex poäng och de fick bara poäng när de spelade mot varandra. Det gör att dessa spelare måste ha förlorat mot samtliga som kom bättre placerade än fyra från slutet. Alltså måste David ha förlorat partiet mot Ted.


2. Antag att det finns positiva heltal m, a och n med n > 1 som löser ekvationen. Vi ska visa att det leder till en orimlighet. Talet a kan skrivas som en produkt av ett antal primtal, dvs a = pq...r, där möjligen flera av primtalen är lika. Insatt i ekvationen får vi  m(m+1) = pnqn...rn. Största gemensamma delaren d för m och (m+1) är 1, eftersom (m+1)-m = 1 är delbart med d. Därmed måste primtalet p dela antingen m eller (m+1), men inte båda, varför också pn delar antingen m eller (m+1). Samma sak för övriga primtal. Låt b vara produkten av de primtal som delar m och låt c vara produkten av de som delar (m+1). Det ger oss a = bc, m = bn och (m+1) = cn. Låt ">=" betyda "större än eller lika med". Eftersom c > b > 0 och n > 1 så följer:

cn >= (b+1)n = (b+1)(b+1)n-1 > (b+1)bn-1 = bn + bn-1 >= bn + 1

Men det betyder att (m+1) > (m+1), vilket är falskt. Slutsatsen måste bli att vårt ursprungliga antagande (att det finns en lösning till ekvationen) är fel.

För jämna n finns ett enklare resonemang. Sätt n = 2k och skriv om ekvationen med hjälp av konjugatregeln:

m = an - m2 = a2k - m2 = (ak+m)(ak-m)

Då följer att m är delbart med (ak+m), vilket är falskt!

/Jonas


3. Vi kallar myntens vikter för a,b,c resp. d. Börja t.ex. med att mäta (a+b). Om vikten blir 18 eller 20 är a och b bägge lika med halva vikten och genom att sedan väga c och d separat är problemet löst. Så vi antar att (a+b) = 19 och fortsätter med att väga (a+c). På samma sätt som tidigare är problemet löst om vikten är 18 eller 20, så vi kan anta att (a+c) = 19. Då ser vi att b = c så att (b+c) är jämn, vilket gör att när man sedan väger (b+c+d) blir d = 9 om summan är udda och d = 10 om den är jämn. När man känner d är det lätt att räkna ut resten, eftersom 2b = 2cb+c = (b+c+d)-d, och a = 19-b.

/Erik


Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03